Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69509 / 65773
↖ ↑ ↗
← S  0.650926°
E 10.912170°		 ← 305.41 m → S  0.650926°
E 10.914917°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.653672°
E 10.912170°		 ← 305.41 m →
93 259 m²		 S  0.653672°
E 10.914917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530315399169922 y=0.501811981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530315399169922 × 217)
    floor (0.530315399169922 × 131072)
    floor (69509.5)     		tx = 69509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501811981201172 × 217)
    floor (0.501811981201172 × 131072)
    floor (65773.5)     		ty = 65773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69509 / 65773 ti = "17/69509/65773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69509/65773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69509 ÷ 217
    69509 ÷ 131072     		x = 0.530311584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65773 ÷ 217
    65773 ÷ 131072     		y = 0.501808166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530311584472656 × 2 - 1) × π
    0.0606231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19045330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501808166503906 × 2 - 1) × π
    -0.0036163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0113610452099533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19045330} λ = 0.19045330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0113610452099533))-π/2
    2×atan(0.98870324775541)-π/2
    2×0.779717762989207-π/2
    1.55943552597841-1.57079632675     		φ = -0.01136080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19045330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.912170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01136080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.650926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69509 KachelY 65773 0.19045330 -0.01136080 10.912170 -0.650926
    Oben rechts KachelX + 1 69510 KachelY 65773 0.19050124 -0.01136080 10.914917 -0.650926
    Unten links KachelX 69509 KachelY + 1 65774 0.19045330 -0.01140873 10.912170 -0.653672
    Unten rechts KachelX + 1 69510 KachelY + 1 65774 0.19050124 -0.01140873 10.914917 -0.653672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01136080--0.01140873) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01136080--0.01140873) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19045330-0.19050124) × cos(-0.01136080) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999935466805781 × 6371000     		do = 305.406029901378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19045330-0.19050124) × cos(-0.01140873) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999934921145782 × 6371000     		du = 305.405863242769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01136080)-sin(-0.01140873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999935466805781-0.999934921145782)×R²
    abs(0.19050124-0.19045330)×5.45659998851811e-07×R²
    4.79399999999963e-05×5.45659998851811e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.45659998851811e-07×40589641000000     		ar = 93259.3798371718m²