Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6944 / 8096
↖ ↑ ↗
← S 84.673512°
E125.156250°		 ← 453.62 m → S 84.673512°
E125.200195°		 →
↑
453.49 m
↓
↑
453.49 m
↓
S 84.677591°
E125.156250°		 ← 453.27 m →
205 631 m²		 S 84.677591°
E125.200195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.84771728515625 y=0.98834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.84771728515625 × 213)
    floor (0.84771728515625 × 8192)
    floor (6944.5)     		tx = 6944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.98834228515625 × 213)
    floor (0.98834228515625 × 8192)
    floor (8096.5)     		ty = 8096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6944 / 8096 ti = "13/6944/8096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6944/8096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6944 ÷ 213
    6944 ÷ 8192     		x = 0.84765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8096 ÷ 213
    8096 ÷ 8192     		y = 0.98828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.84765625 × 2 - 1) × π
    0.6953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.18438864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98828125 × 2 - 1) × π
    -0.9765625 × 3.1415926535     		Φ = -3.06796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.18438864} λ = 2.18438864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.06796157568359))-π/2
    2×atan(0.0465158773778337)-π/2
    2×0.0464823716478539-π/2
    0.0929647432957078-1.57079632675     		φ = -1.47783158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.18438864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 125.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47783158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.673512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6944 KachelY 8096 2.18438864 -1.47783158 125.156250 -84.673512
    Oben rechts KachelX + 1 6945 KachelY 8096 2.18515563 -1.47783158 125.200195 -84.673512
    Unten links KachelX 6944 KachelY + 1 8097 2.18438864 -1.47790276 125.156250 -84.677591
    Unten rechts KachelX + 1 6945 KachelY + 1 8097 2.18515563 -1.47790276 125.200195 -84.677591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47783158--1.47790276) × R
    7.11800000001706e-05 × 6371000     		dl = 453.487780001087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47783158--1.47790276) × R
    7.11800000001706e-05 × 6371000     		dr = 453.487780001087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.18438864-2.18515563) × cos(-1.47783158) × R
    0.000766990000000245 × 0.0928308975419283 × 6371000     		do = 453.617557943455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.18438864-2.18515563) × cos(-1.47790276) × R
    0.000766990000000245 × 0.0927600246699472 × 6371000     		du = 453.271238130076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47783158)-sin(-1.47790276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0928308975419283-0.0927600246699472)×R²
    abs(2.18515563-2.18438864)×7.08728719810564e-05×R²
    0.000766990000000245×7.08728719810564e-05×6371000²
    0.000766990000000245×7.08728719810564e-05×40589641000000     		ar = 205631.493506401m²