Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69409 / 42783
↖ ↑ ↗
← N 52.857522°
E 10.637512°		 ← 184.42 m → N 52.857522°
E 10.640259°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.855864°
E 10.637512°		 ← 184.42 m →
34 003 m²		 N 52.855864°
E 10.640259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529552459716797 y=0.326412200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529552459716797 × 217)
    floor (0.529552459716797 × 131072)
    floor (69409.5)     		tx = 69409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326412200927734 × 217)
    floor (0.326412200927734 × 131072)
    floor (42783.5)     		ty = 42783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69409 / 42783 ti = "17/69409/42783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69409/42783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69409 ÷ 217
    69409 ÷ 131072     		x = 0.529548645019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42783 ÷ 217
    42783 ÷ 131072     		y = 0.326408386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529548645019531 × 2 - 1) × π
    0.0590972900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18565961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326408386230469 × 2 - 1) × π
    0.347183227539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.09070827705514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18565961} λ = 0.18565961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09070827705514))-π/2
    2×atan(2.97638142885231)-π/2
    2×1.24666706523886-π/2
    2.49333413047772-1.57079632675     		φ = 0.92253780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18565961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.637512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92253780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.857522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69409 KachelY 42783 0.18565961 0.92253780 10.637512 52.857522
    Oben rechts KachelX + 1 69410 KachelY 42783 0.18570755 0.92253780 10.640259 52.857522
    Unten links KachelX 69409 KachelY + 1 42784 0.18565961 0.92250886 10.637512 52.855864
    Unten rechts KachelX + 1 69410 KachelY + 1 42784 0.18570755 0.92250886 10.640259 52.855864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92253780-0.92250886) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92253780-0.92250886) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18565961-0.18570755) × cos(0.92253780) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603799130149664 × 6371000     		do = 184.415796137303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18565961-0.18570755) × cos(0.92250886) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603822199027319 × 6371000     		du = 184.422841966332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92253780)-sin(0.92250886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603799130149664-0.603822199027319)×R²
    abs(0.18570755-0.18565961)×2.30688776547971e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30688776547971e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30688776547971e-05×40589641000000     		ar = 34002.6328420813m²