Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69388 / 42812
↖ ↑ ↗
← N 52.809403°
E 10.579834°		 ← 184.58 m → N 52.809403°
E 10.582580°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 52.807743°
E 10.579834°		 ← 184.59 m →
34 080 m²		 N 52.807743°
E 10.582580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529392242431641 y=0.326633453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529392242431641 × 217)
    floor (0.529392242431641 × 131072)
    floor (69388.5)     		tx = 69388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326633453369141 × 217)
    floor (0.326633453369141 × 131072)
    floor (42812.5)     		ty = 42812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69388 / 42812 ti = "17/69388/42812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69388/42812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69388 ÷ 217
    69388 ÷ 131072     		x = 0.529388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42812 ÷ 217
    42812 ÷ 131072     		y = 0.326629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529388427734375 × 2 - 1) × π
    0.05877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18465294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326629638671875 × 2 - 1) × π
    0.34674072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08931810696616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18465294} λ = 0.18465294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08931810696616))-π/2
    2×atan(2.97224662712126)-π/2
    2×1.24624714091727-π/2
    2.49249428183453-1.57079632675     		φ = 0.92169796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18465294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92169796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.809403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69388 KachelY 42812 0.18465294 0.92169796 10.579834 52.809403
    Oben rechts KachelX + 1 69389 KachelY 42812 0.18470087 0.92169796 10.582580 52.809403
    Unten links KachelX 69388 KachelY + 1 42813 0.18465294 0.92166898 10.579834 52.807743
    Unten rechts KachelX + 1 69389 KachelY + 1 42813 0.18470087 0.92166898 10.582580 52.807743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92169796-0.92166898) × R
    2.89800000000673e-05 × 6371000     		dl = 184.631580000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92169796-0.92166898) × R
    2.89800000000673e-05 × 6371000     		dr = 184.631580000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18465294-0.18470087) × cos(0.92169796) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.604468384255636 × 6371000     		do = 184.581692887127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18465294-0.18470087) × cos(0.92166898) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.604491470314022 × 6371000     		du = 184.588742492781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92169796)-sin(0.92166898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604468384255636-0.604491470314022)×R²
    abs(0.18470087-0.18465294)×2.30860583860792e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30860583860792e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30860583860792e-05×40589641000000     		ar = 34080.2603891555m²