Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69353 / 42791
↖ ↑ ↗
← N 52.844253°
E 10.483704°		 ← 184.43 m → N 52.844253°
E 10.486450°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 52.842595°
E 10.483704°		 ← 184.44 m →
34 018 m²		 N 52.842595°
E 10.486450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529125213623047 y=0.326473236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529125213623047 × 217)
    floor (0.529125213623047 × 131072)
    floor (69353.5)     		tx = 69353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326473236083984 × 217)
    floor (0.326473236083984 × 131072)
    floor (42791.5)     		ty = 42791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69353 / 42791 ti = "17/69353/42791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69353/42791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69353 ÷ 217
    69353 ÷ 131072     		x = 0.529121398925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42791 ÷ 217
    42791 ÷ 131072     		y = 0.326469421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529121398925781 × 2 - 1) × π
    0.0582427978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18297515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326469421386719 × 2 - 1) × π
    0.347061157226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.09032478185818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18297515} λ = 0.18297515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09032478185818))-π/2
    2×atan(2.97524021970812)-π/2
    2×1.24655127050908-π/2
    2.49310254101816-1.57079632675     		φ = 0.92230621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18297515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.483704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92230621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.844253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69353 KachelY 42791 0.18297515 0.92230621 10.483704 52.844253
    Oben rechts KachelX + 1 69354 KachelY 42791 0.18302308 0.92230621 10.486450 52.844253
    Unten links KachelX 69353 KachelY + 1 42792 0.18297515 0.92227726 10.483704 52.842595
    Unten rechts KachelX + 1 69354 KachelY + 1 42792 0.18302308 0.92227726 10.486450 52.842595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92230621-0.92227726) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92230621-0.92227726) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18297515-0.18302308) × cos(0.92230621) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603983722799558 × 6371000     		do = 184.433695681036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18297515-0.18302308) × cos(0.92227726) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.604006795599517 × 6371000     		du = 184.44074123807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92230621)-sin(0.92227726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603983722799558-0.604006795599517)×R²
    abs(0.18302308-0.18297515)×2.30727999591673e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30727999591673e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30727999591673e-05×40589641000000     		ar = 34017.6835718216m²