Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69321 / 42780
↖ ↑ ↗
← N 52.862497°
E 10.395813°		 ← 184.36 m → N 52.862497°
E 10.398559°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.860839°
E 10.395813°		 ← 184.36 m →
33 992 m²		 N 52.860839°
E 10.398559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528881072998047 y=0.326389312744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528881072998047 × 217)
    floor (0.528881072998047 × 131072)
    floor (69321.5)     		tx = 69321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326389312744141 × 217)
    floor (0.326389312744141 × 131072)
    floor (42780.5)     		ty = 42780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69321 / 42780 ti = "17/69321/42780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69321/42780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69321 ÷ 217
    69321 ÷ 131072     		x = 0.528877258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42780 ÷ 217
    42780 ÷ 131072     		y = 0.326385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528877258300781 × 2 - 1) × π
    0.0577545166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18144117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326385498046875 × 2 - 1) × π
    0.34722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.090852087754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18144117} λ = 0.18144117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.090852087754))-π/2
    2×atan(2.97680949512518)-π/2
    2×1.24671047913757-π/2
    2.49342095827514-1.57079632675     		φ = 0.92262463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18144117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.395813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92262463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.862497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69321 KachelY 42780 0.18144117 0.92262463 10.395813 52.862497
    Oben rechts KachelX + 1 69322 KachelY 42780 0.18148910 0.92262463 10.398559 52.862497
    Unten links KachelX 69321 KachelY + 1 42781 0.18144117 0.92259569 10.395813 52.860839
    Unten rechts KachelX + 1 69322 KachelY + 1 42781 0.18148910 0.92259569 10.398559 52.860839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92262463-0.92259569) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92262463-0.92259569) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18144117-0.18148910) × cos(0.92262463) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603729912510712 × 6371000     		do = 184.356191655893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18144117-0.18148910) × cos(0.92259569) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603752982905571 × 6371000     		du = 184.3632364785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92262463)-sin(0.92259569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603729912510712-0.603752982905571)×R²
    abs(0.18148910-0.18144117)×2.30703948594924e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30703948594924e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30703948594924e-05×40589641000000     		ar = 33991.6430694897m²