Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69286 / 42779
↖ ↑ ↗
← N 52.864156°
E 10.299682°		 ← 184.39 m → N 52.864156°
E 10.302429°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.862497°
E 10.299682°		 ← 184.39 m →
33 997 m²		 N 52.862497°
E 10.302429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528614044189453 y=0.326381683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528614044189453 × 217)
    floor (0.528614044189453 × 131072)
    floor (69286.5)     		tx = 69286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326381683349609 × 217)
    floor (0.326381683349609 × 131072)
    floor (42779.5)     		ty = 42779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69286 / 42779 ti = "17/69286/42779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69286/42779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69286 ÷ 217
    69286 ÷ 131072     		x = 0.528610229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42779 ÷ 217
    42779 ÷ 131072     		y = 0.326377868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528610229492188 × 2 - 1) × π
    0.057220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17976337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326377868652344 × 2 - 1) × π
    0.347244262695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.09090002465362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17976337} λ = 0.17976337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09090002465362))-π/2
    2×atan(2.97695219756347)-π/2
    2×1.24672494933116-π/2
    2.49344989866232-1.57079632675     		φ = 0.92265357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17976337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.299682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92265357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.864156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69286 KachelY 42779 0.17976337 0.92265357 10.299682 52.864156
    Oben rechts KachelX + 1 69287 KachelY 42779 0.17981131 0.92265357 10.302429 52.864156
    Unten links KachelX 69286 KachelY + 1 42780 0.17976337 0.92262463 10.299682 52.862497
    Unten rechts KachelX + 1 69287 KachelY + 1 42780 0.17981131 0.92262463 10.302429 52.862497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92265357-0.92262463) × R
    2.89400000000883e-05 × 6371000     		dl = 184.376740000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92265357-0.92262463) × R
    2.89400000000883e-05 × 6371000     		dr = 184.376740000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17976337-0.17981131) × cos(0.92265357) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603706841610214 × 6371000     		do = 184.387608841848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17976337-0.17981131) × cos(0.92262463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.603729912510712 × 6371000     		du = 184.394655288705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92265357)-sin(0.92262463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603706841610214-0.603729912510712)×R²
    abs(0.17981131-0.17976337)×2.30709004978014e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30709004978014e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30709004978014e-05×40589641000000     		ar = 33997.4358174632m²