Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69284 / 42852
↖ ↑ ↗
← N 52.742943°
E 10.294189°		 ← 184.90 m → N 52.742943°
E 10.296936°		 →
↑
184.95 m
↓
↑
184.95 m
↓
N 52.741280°
E 10.294189°		 ← 184.91 m →
34 198 m²		 N 52.741280°
E 10.296936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528598785400391 y=0.326938629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528598785400391 × 217)
    floor (0.528598785400391 × 131072)
    floor (69284.5)     		tx = 69284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326938629150391 × 217)
    floor (0.326938629150391 × 131072)
    floor (42852.5)     		ty = 42852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69284 / 42852 ti = "17/69284/42852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69284/42852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69284 ÷ 217
    69284 ÷ 131072     		x = 0.528594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42852 ÷ 217
    42852 ÷ 131072     		y = 0.326934814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528594970703125 × 2 - 1) × π
    0.05718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17966750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326934814453125 × 2 - 1) × π
    0.34613037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08740063098135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17966750} λ = 0.17966750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08740063098135))-π/2
    2×atan(2.96655287615275)-π/2
    2×1.24566717139424-π/2
    2.49133434278849-1.57079632675     		φ = 0.92053802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17966750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.294189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92053802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.742943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69284 KachelY 42852 0.17966750 0.92053802 10.294189 52.742943
    Oben rechts KachelX + 1 69285 KachelY 42852 0.17971544 0.92053802 10.296936 52.742943
    Unten links KachelX 69284 KachelY + 1 42853 0.17966750 0.92050899 10.294189 52.741280
    Unten rechts KachelX + 1 69285 KachelY + 1 42853 0.17971544 0.92050899 10.296936 52.741280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92053802-0.92050899) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dl = 184.950129999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92053802-0.92050899) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dr = 184.950129999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17966750-0.17971544) × cos(0.92053802) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605392019398481 × 6371000     		do = 184.902305514861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17966750-0.17971544) × cos(0.92050899) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605415124917205 × 6371000     		du = 184.909362535016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92053802)-sin(0.92050899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605392019398481-0.605415124917205)×R²
    abs(0.17971544-0.17966750)×2.3105518724531e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3105518724531e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3105518724531e-05×40589641000000     		ar = 34198.3580430708m²