Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69266 / 42757
↖ ↑ ↗
← N 52.900619°
E 10.244751°		 ← 184.19 m → N 52.900619°
E 10.247497°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
N 52.898962°
E 10.244751°		 ← 184.20 m →
33 938 m²		 N 52.898962°
E 10.247497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528461456298828 y=0.326213836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528461456298828 × 217)
    floor (0.528461456298828 × 131072)
    floor (69266.5)     		tx = 69266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326213836669922 × 217)
    floor (0.326213836669922 × 131072)
    floor (42757.5)     		ty = 42757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69266 / 42757 ti = "17/69266/42757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69266/42757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69266 ÷ 217
    69266 ÷ 131072     		x = 0.528457641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42757 ÷ 217
    42757 ÷ 131072     		y = 0.326210021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528457641601562 × 2 - 1) × π
    0.056915283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17880464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326210021972656 × 2 - 1) × π
    0.347579956054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09195463644526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17880464} λ = 0.17880464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09195463644526))-π/2
    2×atan(2.98009338252839)-π/2
    2×1.24704315370297-π/2
    2.49408630740594-1.57079632675     		φ = 0.92328998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17880464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.244751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92328998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.900619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69266 KachelY 42757 0.17880464 0.92328998 10.244751 52.900619
    Oben rechts KachelX + 1 69267 KachelY 42757 0.17885257 0.92328998 10.247497 52.900619
    Unten links KachelX 69266 KachelY + 1 42758 0.17880464 0.92326106 10.244751 52.898962
    Unten rechts KachelX + 1 69267 KachelY + 1 42758 0.17885257 0.92326106 10.247497 52.898962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92328998-0.92326106) × R
    2.89199999999878e-05 × 6371000     		dl = 184.249319999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92328998-0.92326106) × R
    2.89199999999878e-05 × 6371000     		dr = 184.249319999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17880464-0.17885257) × cos(0.92328998) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603199369261395 × 6371000     		do = 184.194183892385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17880464-0.17885257) × cos(0.92326106) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.603222435324867 × 6371000     		du = 184.201227392351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92328998)-sin(0.92326106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603199369261395-0.603222435324867)×R²
    abs(0.17885257-0.17880464)×2.30660634721325e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30660634721325e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30660634721325e-05×40589641000000     		ar = 33938.3020123617m²