Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69258 / 42826
↖ ↑ ↗
← N 52.786154°
E 10.222778°		 ← 184.72 m → N 52.786154°
E 10.225525°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
N 52.784493°
E 10.222778°		 ← 184.73 m →
34 117 m²		 N 52.784493°
E 10.225525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528400421142578 y=0.326740264892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528400421142578 × 217)
    floor (0.528400421142578 × 131072)
    floor (69258.5)     		tx = 69258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326740264892578 × 217)
    floor (0.326740264892578 × 131072)
    floor (42826.5)     		ty = 42826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69258 / 42826 ti = "17/69258/42826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69258/42826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69258 ÷ 217
    69258 ÷ 131072     		x = 0.528396606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42826 ÷ 217
    42826 ÷ 131072     		y = 0.326736450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528396606445312 × 2 - 1) × π
    0.056793212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17842114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326736450195312 × 2 - 1) × π
    0.346527099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08864699037148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17842114} λ = 0.17842114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08864699037148))-π/2
    2×atan(2.97025257228281)-π/2
    2×1.24604425230925-π/2
    2.4920885046185-1.57079632675     		φ = 0.92129218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17842114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.222778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92129218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.786154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69258 KachelY 42826 0.17842114 0.92129218 10.222778 52.786154
    Oben rechts KachelX + 1 69259 KachelY 42826 0.17846908 0.92129218 10.225525 52.786154
    Unten links KachelX 69258 KachelY + 1 42827 0.17842114 0.92126319 10.222778 52.784493
    Unten rechts KachelX + 1 69259 KachelY + 1 42827 0.17846908 0.92126319 10.225525 52.784493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92129218-0.92126319) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dl = 184.695290000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92129218-0.92126319) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dr = 184.695290000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17842114-0.17846908) × cos(0.92129218) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.604791590650463 × 6371000     		do = 184.718919120181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17842114-0.17846908) × cos(0.92126319) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.604814677562227 × 6371000     		du = 184.72597045729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92129218)-sin(0.92126319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604791590650463-0.604814677562227)×R²
    abs(0.17846908-0.17842114)×2.30869117637811e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30869117637811e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30869117637811e-05×40589641000000     		ar = 34117.3655120426m²