Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69257 / 42718
↖ ↑ ↗
← N 52.965183°
E 10.220032°		 ← 183.96 m → N 52.965183°
E 10.222778°		 →
↑
183.93 m
↓
↑
183.93 m
↓
N 52.963529°
E 10.220032°		 ← 183.97 m →
33 836 m²		 N 52.963529°
E 10.222778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528392791748047 y=0.325916290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528392791748047 × 217)
    floor (0.528392791748047 × 131072)
    floor (69257.5)     		tx = 69257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325916290283203 × 217)
    floor (0.325916290283203 × 131072)
    floor (42718.5)     		ty = 42718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69257 / 42718 ti = "17/69257/42718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69257/42718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69257 ÷ 217
    69257 ÷ 131072     		x = 0.528388977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42718 ÷ 217
    42718 ÷ 131072     		y = 0.325912475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528388977050781 × 2 - 1) × π
    0.0567779541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17837320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325912475585938 × 2 - 1) × π
    0.348175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09382417553044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17837320} λ = 0.17837320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09382417553044))-π/2
    2×atan(2.98566999480755)-π/2
    2×1.24760658580297-π/2
    2.49521317160593-1.57079632675     		φ = 0.92441684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17837320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.220032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92441684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.965183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69257 KachelY 42718 0.17837320 0.92441684 10.220032 52.965183
    Oben rechts KachelX + 1 69258 KachelY 42718 0.17842114 0.92441684 10.222778 52.965183
    Unten links KachelX 69257 KachelY + 1 42719 0.17837320 0.92438797 10.220032 52.963529
    Unten rechts KachelX + 1 69258 KachelY + 1 42719 0.17842114 0.92438797 10.222778 52.963529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92441684-0.92438797) × R
    2.88700000000697e-05 × 6371000     		dl = 183.930770000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92441684-0.92438797) × R
    2.88700000000697e-05 × 6371000     		dr = 183.930770000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17837320-0.17842114) × cos(0.92441684) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.60230021370536 × 6371000     		do = 183.957988473104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17837320-0.17842114) × cos(0.92438797) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.602323259499484 × 6371000     		du = 183.965027251828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92441684)-sin(0.92438797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60230021370536-0.602323259499484)×R²
    abs(0.17842114-0.17837320)×2.30457941244877e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30457941244877e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30457941244877e-05×40589641000000     		ar = 33836.1817938571m²