Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69235 / 42681
↖ ↑ ↗
← N 53.026348°
E 10.159607°		 ← 183.70 m → N 53.026348°
E 10.162354°		 →
↑
183.68 m
↓
↑
183.68 m
↓
N 53.024697°
E 10.159607°		 ← 183.70 m →
33 741 m²		 N 53.024697°
E 10.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528224945068359 y=0.325634002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528224945068359 × 217)
    floor (0.528224945068359 × 131072)
    floor (69235.5)     		tx = 69235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325634002685547 × 217)
    floor (0.325634002685547 × 131072)
    floor (42681.5)     		ty = 42681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69235 / 42681 ti = "17/69235/42681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69235/42681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69235 ÷ 217
    69235 ÷ 131072     		x = 0.528221130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42681 ÷ 217
    42681 ÷ 131072     		y = 0.325630187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528221130371094 × 2 - 1) × π
    0.0564422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17731859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325630187988281 × 2 - 1) × π
    0.348739624023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.09559784081638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17731859} λ = 0.17731859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09559784081638))-π/2
    2×atan(2.99097027310293)-π/2
    2×1.24814034723271-π/2
    2.49628069446541-1.57079632675     		φ = 0.92548437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17731859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.159607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92548437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.026348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69235 KachelY 42681 0.17731859 0.92548437 10.159607 53.026348
    Oben rechts KachelX + 1 69236 KachelY 42681 0.17736653 0.92548437 10.162354 53.026348
    Unten links KachelX 69235 KachelY + 1 42682 0.17731859 0.92545554 10.159607 53.024697
    Unten rechts KachelX + 1 69236 KachelY + 1 42682 0.17736653 0.92545554 10.162354 53.024697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92548437-0.92545554) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dl = 183.675929999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92548437-0.92545554) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dr = 183.675929999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17731859-0.17736653) × cos(0.92548437) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.601447693858669 × 6371000     		do = 183.697606968063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17731859-0.17736653) × cos(0.92545554) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.601470726246867 × 6371000     		du = 183.704641652273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92548437)-sin(0.92545554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601447693858669-0.601470726246867)×R²
    abs(0.17736653-0.17731859)×2.30323881975636e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30323881975636e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30323881975636e-05×40589641000000     		ar = 33741.4748519765m²