Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69210 / 42878
↖ ↑ ↗
← N 52.699690°
E 10.090942°		 ← 185.09 m → N 52.699690°
E 10.093689°		 →
↑
185.08 m
↓
↑
185.08 m
↓
N 52.698026°
E 10.090942°		 ← 185.09 m →
34 256 m²		 N 52.698026°
E 10.093689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528034210205078 y=0.327136993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528034210205078 × 217)
    floor (0.528034210205078 × 131072)
    floor (69210.5)     		tx = 69210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327136993408203 × 217)
    floor (0.327136993408203 × 131072)
    floor (42878.5)     		ty = 42878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69210 / 42878 ti = "17/69210/42878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69210/42878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69210 ÷ 217
    69210 ÷ 131072     		x = 0.528030395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42878 ÷ 217
    42878 ÷ 131072     		y = 0.327133178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528030395507812 × 2 - 1) × π
    0.056060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17612017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327133178710938 × 2 - 1) × π
    0.345733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08615427159123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17612017} λ = 0.17612017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08615427159123))-π/2
    2×atan(2.96285778830131)-π/2
    2×1.24528971622503-π/2
    2.49057943245007-1.57079632675     		φ = 0.91978311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17612017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.090942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91978311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.699690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69210 KachelY 42878 0.17612017 0.91978311 10.090942 52.699690
    Oben rechts KachelX + 1 69211 KachelY 42878 0.17616811 0.91978311 10.093689 52.699690
    Unten links KachelX 69210 KachelY + 1 42879 0.17612017 0.91975406 10.090942 52.698026
    Unten rechts KachelX + 1 69211 KachelY + 1 42879 0.17616811 0.91975406 10.093689 52.698026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91978311-0.91975406) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dl = 185.07754999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91978311-0.91975406) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dr = 185.07754999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17612017-0.17616811) × cos(0.91978311) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605992700428204 × 6371000     		do = 185.085768962868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17612017-0.17616811) × cos(0.91975406) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.606015808581957 × 6371000     		du = 185.092826787828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91978311)-sin(0.91975406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605992700428204-0.606015808581957)×R²
    abs(0.17616811-0.17612017)×2.31081537522826e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31081537522826e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31081537522826e-05×40589641000000     		ar = 34255.8737845021m²