Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69203 / 42698
↖ ↑ ↗
← N 52.998256°
E 10.071716°		 ← 183.82 m → N 52.998256°
E 10.074463°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
N 52.996603°
E 10.071716°		 ← 183.82 m →
33 787 m²		 N 52.996603°
E 10.074463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527980804443359 y=0.325763702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527980804443359 × 217)
    floor (0.527980804443359 × 131072)
    floor (69203.5)     		tx = 69203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325763702392578 × 217)
    floor (0.325763702392578 × 131072)
    floor (42698.5)     		ty = 42698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69203 / 42698 ti = "17/69203/42698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69203/42698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69203 ÷ 217
    69203 ÷ 131072     		x = 0.527976989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42698 ÷ 217
    42698 ÷ 131072     		y = 0.325759887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527976989746094 × 2 - 1) × π
    0.0559539794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17578461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325759887695312 × 2 - 1) × π
    0.348480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09478291352284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17578461} λ = 0.17578461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09478291352284))-π/2
    2×atan(2.98853384268486)-π/2
    2×1.24789519937733-π/2
    2.49579039875467-1.57079632675     		φ = 0.92499407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17578461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.071716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92499407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.998256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69203 KachelY 42698 0.17578461 0.92499407 10.071716 52.998256
    Oben rechts KachelX + 1 69204 KachelY 42698 0.17583255 0.92499407 10.074463 52.998256
    Unten links KachelX 69203 KachelY + 1 42699 0.17578461 0.92496522 10.071716 52.996603
    Unten rechts KachelX + 1 69204 KachelY + 1 42699 0.17583255 0.92496522 10.074463 52.996603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92499407-0.92496522) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dl = 183.803349999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92499407-0.92496522) × R
    2.88499999999692e-05 × 6371000     		dr = 183.803349999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17578461-0.17583255) × cos(0.92499407) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.601839328192657 × 6371000     		do = 183.817222174331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17578461-0.17583255) × cos(0.92496522) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.601862368048247 × 6371000     		du = 183.824259139274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92499407)-sin(0.92496522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601839328192657-0.601862368048247)×R²
    abs(0.17583255-0.17578461)×2.30398555902678e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30398555902678e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30398555902678e-05×40589641000000     		ar = 33786.8679347034m²