Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69198 / 42866
↖ ↑ ↗
← N 52.719658°
E 10.057984°		 ← 184.96 m → N 52.719658°
E 10.060730°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
N 52.717995°
E 10.057984°		 ← 184.97 m →
34 221 m²		 N 52.717995°
E 10.060730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527942657470703 y=0.327045440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527942657470703 × 217)
    floor (0.527942657470703 × 131072)
    floor (69198.5)     		tx = 69198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327045440673828 × 217)
    floor (0.327045440673828 × 131072)
    floor (42866.5)     		ty = 42866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69198 / 42866 ti = "17/69198/42866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69198/42866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69198 ÷ 217
    69198 ÷ 131072     		x = 0.527938842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42866 ÷ 217
    42866 ÷ 131072     		y = 0.327041625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527938842773438 × 2 - 1) × π
    0.055877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17554493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327041625976562 × 2 - 1) × π
    0.345916748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08672951438667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17554493} λ = 0.17554493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08672951438667))-π/2
    2×atan(2.96456264120311)-π/2
    2×1.24546397281806-π/2
    2.49092794563611-1.57079632675     		φ = 0.92013162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17554493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.057984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92013162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.719658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69198 KachelY 42866 0.17554493 0.92013162 10.057984 52.719658
    Oben rechts KachelX + 1 69199 KachelY 42866 0.17559286 0.92013162 10.060730 52.719658
    Unten links KachelX 69198 KachelY + 1 42867 0.17554493 0.92010258 10.057984 52.717995
    Unten rechts KachelX + 1 69199 KachelY + 1 42867 0.17559286 0.92010258 10.060730 52.717995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92013162-0.92010258) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dl = 185.013840000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92013162-0.92010258) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dr = 185.013840000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17554493-0.17559286) × cos(0.92013162) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.605715434310975 × 6371000     		do = 184.962494623537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17554493-0.17559286) × cos(0.92010258) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.605738540642004 × 6371000     		du = 184.969550419686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92013162)-sin(0.92010258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605715434310975-0.605738540642004)×R²
    abs(0.17559286-0.17554493)×2.3106331028977e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3106331028977e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3106331028977e-05×40589641000000     		ar = 34221.2740986528m²