Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69197 / 42873
↖ ↑ ↗
← N 52.708011°
E 10.055237°		 ← 185.05 m → N 52.708011°
E 10.057984°		 →
↑
185.08 m
↓
↑
185.08 m
↓
N 52.706347°
E 10.055237°		 ← 185.06 m →
34 249 m²		 N 52.706347°
E 10.057984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527935028076172 y=0.327098846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527935028076172 × 217)
    floor (0.527935028076172 × 131072)
    floor (69197.5)     		tx = 69197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327098846435547 × 217)
    floor (0.327098846435547 × 131072)
    floor (42873.5)     		ty = 42873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69197 / 42873 ti = "17/69197/42873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69197/42873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69197 ÷ 217
    69197 ÷ 131072     		x = 0.527931213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42873 ÷ 217
    42873 ÷ 131072     		y = 0.327095031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527931213378906 × 2 - 1) × π
    0.0558624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17549699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327095031738281 × 2 - 1) × π
    0.345809936523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.08639395608933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17549699} λ = 0.17549699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08639395608933))-π/2
    2×atan(2.96356802449615)-π/2
    2×1.24536233283049-π/2
    2.49072466566098-1.57079632675     		φ = 0.91992834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17549699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.055237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91992834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.708011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69197 KachelY 42873 0.17549699 0.91992834 10.055237 52.708011
    Oben rechts KachelX + 1 69198 KachelY 42873 0.17554493 0.91992834 10.057984 52.708011
    Unten links KachelX 69197 KachelY + 1 42874 0.17549699 0.91989929 10.055237 52.706347
    Unten rechts KachelX + 1 69198 KachelY + 1 42874 0.17554493 0.91989929 10.057984 52.706347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91992834-0.91989929) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dl = 185.07754999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91992834-0.91989929) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dr = 185.07754999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17549699-0.17554493) × cos(0.91992834) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605877167900015 × 6371000     		do = 185.050482354952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17549699-0.17554493) × cos(0.91989929) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.605900278610215 × 6371000     		du = 185.057540960717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91992834)-sin(0.91989929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605877167900015-0.605900278610215)×R²
    abs(0.17554493-0.17549699)×2.31107101991146e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.31107101991146e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.31107101991146e-05×40589641000000     		ar = 34249.3430976686m²