Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69183 / 42598
↖ ↑ ↗
← N 53.163240°
E 10.016785°		 ← 183.11 m → N 53.163240°
E 10.019531°		 →
↑
183.10 m
↓
↑
183.10 m
↓
N 53.161593°
E 10.016785°		 ← 183.12 m →
33 529 m²		 N 53.161593°
E 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527828216552734 y=0.325000762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527828216552734 × 217)
    floor (0.527828216552734 × 131072)
    floor (69183.5)     		tx = 69183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325000762939453 × 217)
    floor (0.325000762939453 × 131072)
    floor (42598.5)     		ty = 42598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69183 / 42598 ti = "17/69183/42598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69183/42598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69183 ÷ 217
    69183 ÷ 131072     		x = 0.527824401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42598 ÷ 217
    42598 ÷ 131072     		y = 0.324996948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527824401855469 × 2 - 1) × π
    0.0556488037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17482587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324996948242188 × 2 - 1) × π
    0.350006103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09957660348485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17482587} λ = 0.17482587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09957660348485))-π/2
    2×atan(3.00289433975328)-π/2
    2×1.24933495526747-π/2
    2.49866991053494-1.57079632675     		φ = 0.92787358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17482587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.016785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92787358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.163240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69183 KachelY 42598 0.17482587 0.92787358 10.016785 53.163240
    Oben rechts KachelX + 1 69184 KachelY 42598 0.17487381 0.92787358 10.019531 53.163240
    Unten links KachelX 69183 KachelY + 1 42599 0.17482587 0.92784484 10.016785 53.161593
    Unten rechts KachelX + 1 69184 KachelY + 1 42599 0.17487381 0.92784484 10.019531 53.161593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92787358-0.92784484) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dl = 183.102539999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92787358-0.92784484) × R
    2.87399999999716e-05 × 6371000     		dr = 183.102539999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17482587-0.17487381) × cos(0.92787358) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.599537210076307 × 6371000     		do = 183.114096045078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17482587-0.17487381) × cos(0.92784484) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.599560211798127 × 6371000     		du = 183.121121362986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92787358)-sin(0.92784484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599537210076307-0.599560211798127)×R²
    abs(0.17487381-0.17482587)×2.30017218199041e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30017218199041e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30017218199041e-05×40589641000000     		ar = 33529.2992747897m²