Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69180 / 42656
↖ ↑ ↗
← N 53.067627°
E 10.008545°		 ← 183.52 m → N 53.067627°
E 10.011292°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
N 53.065976°
E 10.008545°		 ← 183.53 m →
33 674 m²		 N 53.065976°
E 10.011292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527805328369141 y=0.325443267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527805328369141 × 217)
    floor (0.527805328369141 × 131072)
    floor (69180.5)     		tx = 69180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325443267822266 × 217)
    floor (0.325443267822266 × 131072)
    floor (42656.5)     		ty = 42656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69180 / 42656 ti = "17/69180/42656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69180/42656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69180 ÷ 217
    69180 ÷ 131072     		x = 0.527801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42656 ÷ 217
    42656 ÷ 131072     		y = 0.325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527801513671875 × 2 - 1) × π
    0.05560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17468206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325439453125 × 2 - 1) × π
    0.34912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17468206} λ = 0.17468206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09679626330688))-π/2
    2×atan(2.99455686784527)-π/2
    2×1.24850056895239-π/2
    2.49700113790478-1.57079632675     		φ = 0.92620481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17468206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.008545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92620481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.067627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69180 KachelY 42656 0.17468206 0.92620481 10.008545 53.067627
    Oben rechts KachelX + 1 69181 KachelY 42656 0.17473000 0.92620481 10.011292 53.067627
    Unten links KachelX 69180 KachelY + 1 42657 0.17468206 0.92617601 10.008545 53.065976
    Unten rechts KachelX + 1 69181 KachelY + 1 42657 0.17473000 0.92617601 10.011292 53.065976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92620481-0.92617601) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dl = 183.484799999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92620481-0.92617601) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dr = 183.484799999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17468206-0.17473000) × cos(0.92620481) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.600871969531578 × 6371000     		do = 183.521765939425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17468206-0.17473000) × cos(0.92617601) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.600894990426437 × 6371000     		du = 183.528797113273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92620481)-sin(0.92617601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600871969531578-0.600894990426437)×R²
    abs(0.17473000-0.17468206)×2.30208948595045e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30208948595045e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30208948595045e-05×40589641000000     		ar = 33674.0995779816m²