Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69179 / 42621
↖ ↑ ↗
← N 53.125350°
E 10.005799°		 ← 183.24 m → N 53.125350°
E 10.008545°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
N 53.123702°
E 10.005799°		 ← 183.24 m →
33 575 m²		 N 53.123702°
E 10.008545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527797698974609 y=0.325176239013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527797698974609 × 217)
    floor (0.527797698974609 × 131072)
    floor (69179.5)     		tx = 69179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325176239013672 × 217)
    floor (0.325176239013672 × 131072)
    floor (42621.5)     		ty = 42621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69179 / 42621 ti = "17/69179/42621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69179/42621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69179 ÷ 217
    69179 ÷ 131072     		x = 0.527793884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42621 ÷ 217
    42621 ÷ 131072     		y = 0.325172424316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527793884277344 × 2 - 1) × π
    0.0555877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17463413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325172424316406 × 2 - 1) × π
    0.349655151367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.09847405479359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17463413} λ = 0.17463413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09847405479359))-π/2
    2×atan(2.99958532703802)-π/2
    2×1.24900429994283-π/2
    2.49800859988566-1.57079632675     		φ = 0.92721227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17463413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.005799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92721227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.125350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69179 KachelY 42621 0.17463413 0.92721227 10.005799 53.125350
    Oben rechts KachelX + 1 69180 KachelY 42621 0.17468206 0.92721227 10.008545 53.125350
    Unten links KachelX 69179 KachelY + 1 42622 0.17463413 0.92718351 10.005799 53.123702
    Unten rechts KachelX + 1 69180 KachelY + 1 42622 0.17468206 0.92718351 10.008545 53.123702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92721227-0.92718351) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92721227-0.92718351) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17463413-0.17468206) × cos(0.92721227) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.600066356337102 × 6371000     		do = 183.237480705807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17463413-0.17468206) × cos(0.92718351) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.600089362657501 × 6371000     		du = 183.244505962507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92721227)-sin(0.92718351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600066356337102-0.600089362657501)×R²
    abs(0.17468206-0.17463413)×2.30063203982001e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.30063203982001e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.30063203982001e-05×40589641000000     		ar = 33575.2398811496m²