Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69172 / 42605
↖ ↑ ↗
← N 53.151712°
E  9.986572°		 ← 183.13 m → N 53.151712°
E  9.989319°		 →
↑
183.17 m
↓
↑
183.17 m
↓
N 53.150065°
E  9.986572°		 ← 183.13 m →
33 543 m²		 N 53.150065°
E  9.989319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527744293212891 y=0.325054168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527744293212891 × 217)
    floor (0.527744293212891 × 131072)
    floor (69172.5)     		tx = 69172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325054168701172 × 217)
    floor (0.325054168701172 × 131072)
    floor (42605.5)     		ty = 42605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69172 / 42605 ti = "17/69172/42605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69172/42605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69172 ÷ 217
    69172 ÷ 131072     		x = 0.527740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42605 ÷ 217
    42605 ÷ 131072     		y = 0.325050354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527740478515625 × 2 - 1) × π
    0.05548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17429857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325050354003906 × 2 - 1) × π
    0.349899291992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.09924104518751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17429857} λ = 0.17429857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09924104518751))-π/2
    2×atan(3.00188686268464)-π/2
    2×1.24923435191738-π/2
    2.49846870383477-1.57079632675     		φ = 0.92767238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17429857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92767238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.151712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69172 KachelY 42605 0.17429857 0.92767238 9.986572 53.151712
    Oben rechts KachelX + 1 69173 KachelY 42605 0.17434650 0.92767238 9.989319 53.151712
    Unten links KachelX 69172 KachelY + 1 42606 0.17429857 0.92764363 9.986572 53.150065
    Unten rechts KachelX + 1 69173 KachelY + 1 42606 0.17434650 0.92764363 9.989319 53.150065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92767238-0.92764363) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dl = 183.166249999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92767238-0.92764363) × R
    2.87499999999108e-05 × 6371000     		dr = 183.166249999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17429857-0.17434650) × cos(0.92767238) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.599698227733092 × 6371000     		do = 183.125068207879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17429857-0.17434650) × cos(0.92764363) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.599721233989653 × 6371000     		du = 183.132093445085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92767238)-sin(0.92764363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599698227733092-0.599721233989653)×R²
    abs(0.17434650-0.17429857)×2.30062565611533e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30062565611533e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30062565611533e-05×40589641000000     		ar = 33542.9754199319m²