Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69159 / 42623
↖ ↑ ↗
← N 53.122054°
E  9.950867°		 ← 183.25 m → N 53.122054°
E  9.953613°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 53.120405°
E  9.950867°		 ← 183.26 m →
33 589 m²		 N 53.120405°
E  9.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527645111083984 y=0.325191497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527645111083984 × 217)
    floor (0.527645111083984 × 131072)
    floor (69159.5)     		tx = 69159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325191497802734 × 217)
    floor (0.325191497802734 × 131072)
    floor (42623.5)     		ty = 42623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69159 / 42623 ti = "17/69159/42623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69159/42623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69159 ÷ 217
    69159 ÷ 131072     		x = 0.527641296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42623 ÷ 217
    42623 ÷ 131072     		y = 0.325187683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527641296386719 × 2 - 1) × π
    0.0552825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17367539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325187683105469 × 2 - 1) × π
    0.349624633789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.09837818099435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17367539} λ = 0.17367539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09837818099435))-π/2
    2×atan(2.9992977591819)-π/2
    2×1.24897553351918-π/2
    2.49795106703836-1.57079632675     		φ = 0.92715474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17367539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.950867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92715474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.122054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69159 KachelY 42623 0.17367539 0.92715474 9.950867 53.122054
    Oben rechts KachelX + 1 69160 KachelY 42623 0.17372332 0.92715474 9.953613 53.122054
    Unten links KachelX 69159 KachelY + 1 42624 0.17367539 0.92712597 9.950867 53.120405
    Unten rechts KachelX + 1 69160 KachelY + 1 42624 0.17372332 0.92712597 9.953613 53.120405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92715474-0.92712597) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92715474-0.92712597) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17367539-0.17372332) × cos(0.92715474) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.600112376480699 × 6371000     		do = 183.251533510171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17367539-0.17372332) × cos(0.92712597) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.600135389807178 × 6371000     		du = 183.258560906261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92715474)-sin(0.92712597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600112376480699-0.600135389807178)×R²
    abs(0.17372332-0.17367539)×2.30133264781385e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30133264781385e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30133264781385e-05×40589641000000     		ar = 33589.4901512378m²