Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69159 / 42618
↖ ↑ ↗
← N 53.130294°
E  9.950867°		 ← 183.22 m → N 53.130294°
E  9.953613°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
N 53.128646°
E  9.950867°		 ← 183.22 m →
33 571 m²		 N 53.128646°
E  9.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527645111083984 y=0.325153350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527645111083984 × 217)
    floor (0.527645111083984 × 131072)
    floor (69159.5)     		tx = 69159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325153350830078 × 217)
    floor (0.325153350830078 × 131072)
    floor (42618.5)     		ty = 42618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69159 / 42618 ti = "17/69159/42618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69159/42618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69159 ÷ 217
    69159 ÷ 131072     		x = 0.527641296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42618 ÷ 217
    42618 ÷ 131072     		y = 0.325149536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527641296386719 × 2 - 1) × π
    0.0552825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17367539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325149536132812 × 2 - 1) × π
    0.349700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09861786549245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17367539} λ = 0.17367539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09861786549245))-π/2
    2×atan(3.00001673051966)-π/2
    2×1.24904744544182-π/2
    2.49809489088365-1.57079632675     		φ = 0.92729856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17367539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.950867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92729856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.130294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69159 KachelY 42618 0.17367539 0.92729856 9.950867 53.130294
    Oben rechts KachelX + 1 69160 KachelY 42618 0.17372332 0.92729856 9.953613 53.130294
    Unten links KachelX 69159 KachelY + 1 42619 0.17367539 0.92726980 9.950867 53.128646
    Unten rechts KachelX + 1 69160 KachelY + 1 42619 0.17372332 0.92726980 9.953613 53.128646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92729856-0.92726980) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92729856-0.92726980) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17367539-0.17372332) × cos(0.92729856) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.599997326397939 × 6371000     		do = 183.216401583347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17367539-0.17372332) × cos(0.92726980) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.600020334207465 × 6371000     		du = 183.22342729477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92729856)-sin(0.92726980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599997326397939-0.600020334207465)×R²
    abs(0.17372332-0.17367539)×2.30078095260211e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30078095260211e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30078095260211e-05×40589641000000     		ar = 33571.3775961009m²