Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69157 / 42625
↖ ↑ ↗
← N 53.118757°
E  9.945373°		 ← 183.30 m → N 53.118757°
E  9.948120°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 53.117108°
E  9.945373°		 ← 183.31 m →
33 599 m²		 N 53.117108°
E  9.948120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527629852294922 y=0.325206756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527629852294922 × 217)
    floor (0.527629852294922 × 131072)
    floor (69157.5)     		tx = 69157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325206756591797 × 217)
    floor (0.325206756591797 × 131072)
    floor (42625.5)     		ty = 42625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69157 / 42625 ti = "17/69157/42625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69157/42625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69157 ÷ 217
    69157 ÷ 131072     		x = 0.527626037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42625 ÷ 217
    42625 ÷ 131072     		y = 0.325202941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527626037597656 × 2 - 1) × π
    0.0552520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17357951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325202941894531 × 2 - 1) × π
    0.349594116210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.09828230719511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17357951} λ = 0.17357951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09828230719511))-π/2
    2×atan(2.99901021889469)-π/2
    2×1.24894676488932-π/2
    2.49789352977864-1.57079632675     		φ = 0.92709720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17357951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.945373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92709720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.118757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69157 KachelY 42625 0.17357951 0.92709720 9.945373 53.118757
    Oben rechts KachelX + 1 69158 KachelY 42625 0.17362745 0.92709720 9.948120 53.118757
    Unten links KachelX 69157 KachelY + 1 42626 0.17357951 0.92706843 9.945373 53.117108
    Unten rechts KachelX + 1 69158 KachelY + 1 42626 0.17362745 0.92706843 9.948120 53.117108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92709720-0.92706843) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dl = 183.293669999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92709720-0.92706843) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dr = 183.293669999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17357951-0.17362745) × cos(0.92709720) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.600158402636916 × 6371000     		do = 183.303824242584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17357951-0.17362745) × cos(0.92706843) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.600181414969895 × 6371000     		du = 183.310852801413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92709720)-sin(0.92706843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600158402636916-0.600181414969895)×R²
    abs(0.17362745-0.17357951)×2.30123329794107e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30123329794107e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30123329794107e-05×40589641000000     		ar = 33599.0748178436m²