Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69156 / 42624
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
E  9.942627°		 ← 183.26 m → N 53.120405°
E  9.945373°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 53.118757°
E  9.942627°		 ← 183.27 m →
33 591 m²		 N 53.118757°
E  9.945373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527622222900391 y=0.325199127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527622222900391 × 217)
    floor (0.527622222900391 × 131072)
    floor (69156.5)     		tx = 69156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325199127197266 × 217)
    floor (0.325199127197266 × 131072)
    floor (42624.5)     		ty = 42624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69156 / 42624 ti = "17/69156/42624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69156/42624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69156 ÷ 217
    69156 ÷ 131072     		x = 0.527618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42624 ÷ 217
    42624 ÷ 131072     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527618408203125 × 2 - 1) × π
    0.05523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17353158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17353158} λ = 0.17353158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17353158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69156 KachelY 42624 0.17353158 0.92712597 9.942627 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 69157 KachelY 42624 0.17357951 0.92712597 9.945373 53.120405
    Unten links KachelX 69156 KachelY + 1 42625 0.17353158 0.92709720 9.942627 53.118757
    Unten rechts KachelX + 1 69157 KachelY + 1 42625 0.17357951 0.92709720 9.945373 53.118757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92709720) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92709720) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17353158-0.17357951) × cos(0.92712597) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 183.258560906367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17353158-0.17357951) × cos(0.92709720) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.600158402636916 × 6371000     		du = 183.265588150772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92709720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.600158402636916)×R²
    abs(0.17357951-0.17353158)×2.3012829738267e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3012829738267e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3012829738267e-05×40589641000000     		ar = 33590.7782143938m²