Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69139 / 65563
↖ ↑ ↗
← S  0.074158°
E  9.895935°		 ← 305.43 m → S  0.074158°
E  9.898682°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.076904°
E  9.895935°		 ← 305.43 m →
93 265 m²		 S  0.076904°
E  9.898682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527492523193359 y=0.500209808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527492523193359 × 217)
    floor (0.527492523193359 × 131072)
    floor (69139.5)     		tx = 69139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500209808349609 × 217)
    floor (0.500209808349609 × 131072)
    floor (65563.5)     		ty = 65563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69139 / 65563 ti = "17/69139/65563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69139/65563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69139 ÷ 217
    69139 ÷ 131072     		x = 0.527488708496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65563 ÷ 217
    65563 ÷ 131072     		y = 0.500205993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527488708496094 × 2 - 1) × π
    0.0549774169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17271665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500205993652344 × 2 - 1) × π
    -0.0004119873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00129429628974152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17271665} λ = 0.17271665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00129429628974152))-π/2
    2×atan(0.99870654095045)-π/2
    2×0.784751015433262-π/2
    1.56950203086652-1.57079632675     		φ = -0.00129430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17271665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.895935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00129430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.074158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69139 KachelY 65563 0.17271665 -0.00129430 9.895935 -0.074158
    Oben rechts KachelX + 1 69140 KachelY 65563 0.17276459 -0.00129430 9.898682 -0.074158
    Unten links KachelX 69139 KachelY + 1 65564 0.17271665 -0.00134223 9.895935 -0.076904
    Unten rechts KachelX + 1 69140 KachelY + 1 65564 0.17276459 -0.00134223 9.898682 -0.076904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00129430--0.00134223) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00129430--0.00134223) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17271665-0.17276459) × cos(-0.00129430) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999999162393872 × 6371000     		do = 305.425484173505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17271665-0.17276459) × cos(-0.00134223) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999999099209449 × 6371000     		du = 305.425464875356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00129430)-sin(-0.00134223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999162393872-0.999999099209449)×R²
    abs(0.17276459-0.17271665)×6.31844231380185e-08×R²
    4.79399999999963e-05×6.31844231380185e-08×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.31844231380185e-08×40589641000000     		ar = 93265.342932348m²