Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69138 / 65414
↖ ↑ ↗
← N  0.335081°
E  9.893188°		 ← 305.42 m → N  0.335081°
E  9.895935°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.332334°
E  9.893188°		 ← 305.42 m →
93 283 m²		 N  0.332334°
E  9.895935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527484893798828 y=0.499073028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527484893798828 × 217)
    floor (0.527484893798828 × 131072)
    floor (69138.5)     		tx = 69138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499073028564453 × 217)
    floor (0.499073028564453 × 131072)
    floor (65414.5)     		ty = 65414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69138 / 65414 ti = "17/69138/65414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69138/65414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69138 ÷ 217
    69138 ÷ 131072     		x = 0.527481079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65414 ÷ 217
    65414 ÷ 131072     		y = 0.499069213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527481079101562 × 2 - 1) × π
    0.054962158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17266871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499069213867188 × 2 - 1) × π
    0.001861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00584830175364685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17266871} λ = 0.17266871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00584830175364685))-π/2
    2×atan(1.00586543645703)-π/2
    2×0.788322297605471-π/2
    1.57664459521094-1.57079632675     		φ = 0.00584827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17266871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.893188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00584827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.335081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69138 KachelY 65414 0.17266871 0.00584827 9.893188 0.335081
    Oben rechts KachelX + 1 69139 KachelY 65414 0.17271665 0.00584827 9.895935 0.335081
    Unten links KachelX 69138 KachelY + 1 65415 0.17266871 0.00580033 9.893188 0.332334
    Unten rechts KachelX + 1 69139 KachelY + 1 65415 0.17271665 0.00580033 9.895935 0.332334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00584827-0.00580033) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00584827-0.00580033) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17266871-0.17271665) × cos(0.00584827) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999982898917745 × 6371000     		do = 305.420516889274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17266871-0.17271665) × cos(0.00580033) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999983178133108 × 6371000     		du = 305.420602168833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00584827)-sin(0.00580033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999982898917745-0.999983178133108)×R²
    abs(0.17271665-0.17266871)×2.7921536338571e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.7921536338571e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.7921536338571e-07×40589641000000     		ar = 93283.3004232412m²