Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69128 / 65446
↖ ↑ ↗
← N  0.247192°
E  9.865722°		 ← 305.42 m → N  0.247192°
E  9.868469°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
N  0.244445°
E  9.865722°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 N  0.244445°
E  9.868469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527408599853516 y=0.499317169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527408599853516 × 217)
    floor (0.527408599853516 × 131072)
    floor (69128.5)     		tx = 69128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499317169189453 × 217)
    floor (0.499317169189453 × 131072)
    floor (65446.5)     		ty = 65446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69128 / 65446 ti = "17/69128/65446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69128/65446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69128 ÷ 217
    69128 ÷ 131072     		x = 0.52740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65446 ÷ 217
    65446 ÷ 131072     		y = 0.499313354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52740478515625 × 2 - 1) × π
    0.0548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17218934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499313354492188 × 2 - 1) × π
    0.001373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00431432096580505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17218934} λ = 0.17218934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00431432096580505))-π/2
    2×atan(1.00432364104696)-π/2
    2×0.787555317188379-π/2
    1.57511063437676-1.57079632675     		φ = 0.00431431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17218934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.865722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00431431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.247192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69128 KachelY 65446 0.17218934 0.00431431 9.865722 0.247192
    Oben rechts KachelX + 1 69129 KachelY 65446 0.17223728 0.00431431 9.868469 0.247192
    Unten links KachelX 69128 KachelY + 1 65447 0.17218934 0.00426637 9.865722 0.244445
    Unten rechts KachelX + 1 69129 KachelY + 1 65447 0.17223728 0.00426637 9.868469 0.244445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00431431-0.00426637) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00431431-0.00426637) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17218934-0.17223728) × cos(0.00431431) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999990693379048 × 6371000     		do = 305.422897518385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17218934-0.17223728) × cos(0.00426637) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999990899057316 × 6371000     		du = 305.422960337823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00431431)-sin(0.00426637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999990693379048-0.999990899057316)×R²
    abs(0.17223728-0.17218934)×2.05678268527798e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.05678268527798e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.05678268527798e-07×40589641000000     		ar = 93284.0240986996m²