Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69118 / 65690
↖ ↑ ↗
← S  0.422970°
E  9.838257°		 ← 305.42 m → S  0.422970°
E  9.841003°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.425716°
E  9.838257°		 ← 305.42 m →
93 263 m²		 S  0.425716°
E  9.841003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527332305908203 y=0.501178741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527332305908203 × 217)
    floor (0.527332305908203 × 131072)
    floor (69118.5)     		tx = 69118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501178741455078 × 217)
    floor (0.501178741455078 × 131072)
    floor (65690.5)     		ty = 65690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69118 / 65690 ti = "17/69118/65690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69118/65690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69118 ÷ 217
    69118 ÷ 131072     		x = 0.527328491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65690 ÷ 217
    65690 ÷ 131072     		y = 0.501174926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527328491210938 × 2 - 1) × π
    0.054656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17170997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501174926757812 × 2 - 1) × π
    -0.002349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00738228254148865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17170997} λ = 0.17170997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00738228254148865))-π/2
    2×atan(0.992644899576452)-π/2
    2×0.781707055652942-π/2
    1.56341411130588-1.57079632675     		φ = -0.00738222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17170997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.838257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00738222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.422970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69118 KachelY 65690 0.17170997 -0.00738222 9.838257 -0.422970
    Oben rechts KachelX + 1 69119 KachelY 65690 0.17175791 -0.00738222 9.841003 -0.422970
    Unten links KachelX 69118 KachelY + 1 65691 0.17170997 -0.00743015 9.838257 -0.425716
    Unten rechts KachelX + 1 69119 KachelY + 1 65691 0.17175791 -0.00743015 9.841003 -0.425716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00738222--0.00743015) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00738222--0.00743015) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17170997-0.17175791) × cos(-0.00738222) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999972751537683 × 6371000     		do = 305.417417618386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17170997-0.17175791) × cos(-0.00743015) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999972396562481 × 6371000     		du = 305.417309199823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00738222)-sin(-0.00743015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999972751537683-0.999972396562481)×R²
    abs(0.17175791-0.17170997)×3.54975201899421e-07×R²
    4.79400000000241e-05×3.54975201899421e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×3.54975201899421e-07×40589641000000     		ar = 93262.8661057059m²