Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69061 / 42637
↖ ↑ ↗
← N 53.098972°
E  9.681702°		 ← 183.39 m → N 53.098972°
E  9.684448°		 →
↑
183.42 m
↓
↑
183.42 m
↓
N 53.097322°
E  9.681702°		 ← 183.40 m →
33 638 m²		 N 53.097322°
E  9.684448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526897430419922 y=0.325298309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526897430419922 × 217)
    floor (0.526897430419922 × 131072)
    floor (69061.5)     		tx = 69061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325298309326172 × 217)
    floor (0.325298309326172 × 131072)
    floor (42637.5)     		ty = 42637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69061 / 42637 ti = "17/69061/42637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69061/42637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69061 ÷ 217
    69061 ÷ 131072     		x = 0.526893615722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42637 ÷ 217
    42637 ÷ 131072     		y = 0.325294494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526893615722656 × 2 - 1) × π
    0.0537872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16897757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325294494628906 × 2 - 1) × π
    0.349411010742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.09770706439967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16897757} λ = 0.16897757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09770706439967))-π/2
    2×atan(2.99728555597033)-π/2
    2×1.24877410677563-π/2
    2.49754821355125-1.57079632675     		φ = 0.92675189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16897757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.681702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92675189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.098972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69061 KachelY 42637 0.16897757 0.92675189 9.681702 53.098972
    Oben rechts KachelX + 1 69062 KachelY 42637 0.16902551 0.92675189 9.684448 53.098972
    Unten links KachelX 69061 KachelY + 1 42638 0.16897757 0.92672310 9.681702 53.097322
    Unten rechts KachelX + 1 69062 KachelY + 1 42638 0.16902551 0.92672310 9.684448 53.097322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92675189-0.92672310) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dl = 183.421090000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92675189-0.92672310) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dr = 183.421090000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16897757-0.16902551) × cos(0.92675189) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.600434573818311 × 6371000     		do = 183.388174030028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16897757-0.16902551) × cos(0.92672310) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.600457596180621 × 6371000     		du = 183.395205652073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92675189)-sin(0.92672310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600434573818311-0.600457596180621)×R²
    abs(0.16902551-0.16897757)×2.30223623104431e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30223623104431e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30223623104431e-05×40589641000000     		ar = 33637.9036499414m²