Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69058 / 42639
↖ ↑ ↗
← N 53.095673°
E  9.673462°		 ← 183.40 m → N 53.095673°
E  9.676209°		 →
↑
183.42 m
↓
↑
183.42 m
↓
N 53.094024°
E  9.673462°		 ← 183.41 m →
33 640 m²		 N 53.094024°
E  9.676209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526874542236328 y=0.325313568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526874542236328 × 217)
    floor (0.526874542236328 × 131072)
    floor (69058.5)     		tx = 69058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325313568115234 × 217)
    floor (0.325313568115234 × 131072)
    floor (42639.5)     		ty = 42639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69058 / 42639 ti = "17/69058/42639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69058/42639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69058 ÷ 217
    69058 ÷ 131072     		x = 0.526870727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42639 ÷ 217
    42639 ÷ 131072     		y = 0.325309753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526870727539062 × 2 - 1) × π
    0.053741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16883376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325309753417969 × 2 - 1) × π
    0.349380493164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.09761119060043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16883376} λ = 0.16883376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09761119060043))-π/2
    2×atan(2.99699820859144)-π/2
    2×1.24874532270023-π/2
    2.49749064540047-1.57079632675     		φ = 0.92669432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16883376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.673462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92669432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.095673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69058 KachelY 42639 0.16883376 0.92669432 9.673462 53.095673
    Oben rechts KachelX + 1 69059 KachelY 42639 0.16888170 0.92669432 9.676209 53.095673
    Unten links KachelX 69058 KachelY + 1 42640 0.16883376 0.92666553 9.673462 53.094024
    Unten rechts KachelX + 1 69059 KachelY + 1 42640 0.16888170 0.92666553 9.676209 53.094024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92669432-0.92666553) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dl = 183.421090000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92669432-0.92666553) × R
    2.87900000000008e-05 × 6371000     		dr = 183.421090000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16883376-0.16888170) × cos(0.92669432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.600480610048841 × 6371000     		do = 183.402234679805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16883376-0.16888170) × cos(0.92666553) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.60050363141591 × 6371000     		du = 183.409265997877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92669432)-sin(0.92666553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600480610048841-0.60050363141591)×R²
    abs(0.16888170-0.16883376)×2.30213670687762e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.30213670687762e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30213670687762e-05×40589641000000     		ar = 33640.482641681m²