Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68943 / 65745
↖ ↑ ↗
← S  0.574026°
E  9.357605°		 ← 305.35 m → S  0.574026°
E  9.360351°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.576773°
E  9.357605°		 ← 305.35 m →
93 261 m²		 S  0.576773°
E  9.360351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525997161865234 y=0.501598358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525997161865234 × 217)
    floor (0.525997161865234 × 131072)
    floor (68943.5)     		tx = 68943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501598358154297 × 217)
    floor (0.501598358154297 × 131072)
    floor (65745.5)     		ty = 65745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68943 / 65745 ti = "17/68943/65745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68943/65745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68943 ÷ 217
    68943 ÷ 131072     		x = 0.525993347167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65745 ÷ 217
    65745 ÷ 131072     		y = 0.501594543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525993347167969 × 2 - 1) × π
    0.0519866943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16332102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501594543457031 × 2 - 1) × π
    -0.0031890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0100188120205917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16332102} λ = 0.16332102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0100188120205917))-π/2
    2×atan(0.990031209086493)-π/2
    2×0.780388841189569-π/2
    1.56077768237914-1.57079632675     		φ = -0.01001864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16332102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.357605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01001864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.574026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68943 KachelY 65745 0.16332102 -0.01001864 9.357605 -0.574026
    Oben rechts KachelX + 1 68944 KachelY 65745 0.16336895 -0.01001864 9.360351 -0.574026
    Unten links KachelX 68943 KachelY + 1 65746 0.16332102 -0.01006658 9.357605 -0.576773
    Unten rechts KachelX + 1 68944 KachelY + 1 65746 0.16336895 -0.01006658 9.360351 -0.576773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01001864--0.01006658) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01001864--0.01006658) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16332102-0.16336895) × cos(-0.01001864) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999949813846056 × 6371000     		do = 305.346705054164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16332102-0.16336895) × cos(-0.01006658) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999949332411425 × 6371000     		du = 305.346558042308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01001864)-sin(-0.01006658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999949813846056-0.999949332411425)×R²
    abs(0.16336895-0.16332102)×4.81434630827948e-07×R²
    4.79300000000016e-05×4.81434630827948e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.81434630827948e-07×40589641000000     		ar = 93260.7209149902m²