Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68905 / 65515
↖ ↑ ↗
← N  0.057678°
E  9.253235°		 ← 305.43 m → N  0.057678°
E  9.255981°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.054932°
E  9.253235°		 ← 305.43 m →
93 265 m²		 N  0.054932°
E  9.255981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525707244873047 y=0.499843597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525707244873047 × 217)
    floor (0.525707244873047 × 131072)
    floor (68905.5)     		tx = 68905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499843597412109 × 217)
    floor (0.499843597412109 × 131072)
    floor (65515.5)     		ty = 65515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68905 / 65515 ti = "17/68905/65515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68905/65515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68905 ÷ 217
    68905 ÷ 131072     		x = 0.525703430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65515 ÷ 217
    65515 ÷ 131072     		y = 0.499839782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525703430175781 × 2 - 1) × π
    0.0514068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16149941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499839782714844 × 2 - 1) × π
    0.0003204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00100667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16149941} λ = 0.16149941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00100667489202118))-π/2
    2×atan(1.00100718175926)-π/2
    2×0.785901500758446-π/2
    1.57180300151689-1.57079632675     		φ = 0.00100667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16149941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.253235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00100667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.057678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68905 KachelY 65515 0.16149941 0.00100667 9.253235 0.057678
    Oben rechts KachelX + 1 68906 KachelY 65515 0.16154735 0.00100667 9.255981 0.057678
    Unten links KachelX 68905 KachelY + 1 65516 0.16149941 0.00095874 9.253235 0.054932
    Unten rechts KachelX + 1 68906 KachelY + 1 65516 0.16154735 0.00095874 9.255981 0.054932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00100667-0.00095874) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00100667-0.00095874) × R
    4.79300000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16149941-0.16154735) × cos(0.00100667) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999999493307798 × 6371000     		do = 305.425585243136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16149941-0.16154735) × cos(0.00095874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999999540408841 × 6371000     		du = 305.425599629007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00100667)-sin(0.00095874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999493307798-0.999999540408841)×R²
    abs(0.16154735-0.16149941)×4.71010430658225e-08×R²
    4.79399999999963e-05×4.71010430658225e-08×6371000²
    4.79399999999963e-05×4.71010430658225e-08×40589641000000     		ar = 93265.3789380863m²