Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68871 / 65531
↖ ↑ ↗
← N  0.013733°
E  9.159851°		 ← 305.43 m → N  0.013733°
E  9.162598°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.010986°
E  9.159851°		 ← 305.43 m →
93 265 m²		 N  0.010986°
E  9.162598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525447845458984 y=0.499965667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525447845458984 × 217)
    floor (0.525447845458984 × 131072)
    floor (68871.5)     		tx = 68871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499965667724609 × 217)
    floor (0.499965667724609 × 131072)
    floor (65531.5)     		ty = 65531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68871 / 65531 ti = "17/68871/65531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68871/65531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68871 ÷ 217
    68871 ÷ 131072     		x = 0.525444030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65531 ÷ 217
    65531 ÷ 131072     		y = 0.499961853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525444030761719 × 2 - 1) × π
    0.0508880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15986956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.499961853027344 × 2 - 1) × π
    7.62939453125e-05 × 3.1415926535     		Φ = 0.000239684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15986956} λ = 0.15986956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.000239684498100281))-π/2
    2×atan(1.00023971322472)-π/2
    2×0.785518005645351-π/2
    1.5710360112907-1.57079632675     		φ = 0.00023968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15986956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.159851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00023968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.013733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68871 KachelY 65531 0.15986956 0.00023968 9.159851 0.013733
    Oben rechts KachelX + 1 68872 KachelY 65531 0.15991750 0.00023968 9.162598 0.013733
    Unten links KachelX 68871 KachelY + 1 65532 0.15986956 0.00019175 9.159851 0.010986
    Unten rechts KachelX + 1 68872 KachelY + 1 65532 0.15991750 0.00019175 9.162598 0.010986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00023968-0.00019175) × R
    4.793e-05 × 6371000     		dl = 305.36203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00023968-0.00019175) × R
    4.793e-05 × 6371000     		dr = 305.36203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15986956-0.15991750) × cos(0.00023968) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999999971276749 × 6371000     		do = 305.425731227156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15986956-0.15991750) × cos(0.00019175) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999999981615969 × 6371000     		du = 305.42573438502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00023968)-sin(0.00019175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999999971276749-0.999999981615969)×R²
    abs(0.15991750-0.15986956)×1.03392199246599e-08×R²
    4.79399999999963e-05×1.03392199246599e-08×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.03392199246599e-08×40589641000000     		ar = 93265.4218017595m²