Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6881 / 8161
↖ ↑ ↗
← S 84.932205°
E122.387695°		 ← 431.65 m → S 84.932205°
E122.431641°		 →
↑
431.44 m
↓
↑
431.44 m
↓
S 84.936085°
E122.387695°		 ← 431.32 m →
186 160 m²		 S 84.936085°
E122.431641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.84002685546875 y=0.99627685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.84002685546875 × 213)
    floor (0.84002685546875 × 8192)
    floor (6881.5)     		tx = 6881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.99627685546875 × 213)
    floor (0.99627685546875 × 8192)
    floor (8161.5)     		ty = 8161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6881 / 8161 ti = "13/6881/8161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6881/8161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6881 ÷ 213
    6881 ÷ 8192     		x = 0.8399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8161 ÷ 213
    8161 ÷ 8192     		y = 0.9962158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8399658203125 × 2 - 1) × π
    0.679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.13606825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.992431640625 × 3.1415926535     		Φ = -3.11781595128845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.13606825} λ = 2.13606825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.11781595128845))-π/2
    2×atan(0.0442537152195645)-π/2
    2×0.0442248604202586-π/2
    0.0884497208405172-1.57079632675     		φ = -1.48234661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.13606825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 122.387695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.48234661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.932205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6881 KachelY 8161 2.13606825 -1.48234661 122.387695 -84.932205
    Oben rechts KachelX + 1 6882 KachelY 8161 2.13683524 -1.48234661 122.431641 -84.932205
    Unten links KachelX 6881 KachelY + 1 8162 2.13606825 -1.48241433 122.387695 -84.936085
    Unten rechts KachelX + 1 6882 KachelY + 1 8162 2.13683524 -1.48241433 122.431641 -84.936085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.48234661--1.48241433) × R
    6.77199999998823e-05 × 6371000     		dl = 431.44411999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.48234661--1.48241433) × R
    6.77199999998823e-05 × 6371000     		dr = 431.44411999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.13606825-2.13683524) × cos(-1.48234661) × R
    0.000766989999999801 × 0.0883344330153755 × 6371000     		do = 431.645614205475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.13606825-2.13683524) × cos(-1.48241433) × R
    0.000766989999999801 × 0.088266977538934 × 6371000     		du = 431.31599347247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.48234661)-sin(-1.48241433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0883344330153755-0.088266977538934)×R²
    abs(2.13683524-2.13606825)×6.74554764414498e-05×R²
    0.000766989999999801×6.74554764414498e-05×6371000²
    0.000766989999999801×6.74554764414498e-05×40589641000000     		ar = 186159.855778466m²