Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68765 / 65845
↖ ↑ ↗
← S  0.848663°
E  8.868713°		 ← 305.39 m → S  0.848663°
E  8.871460°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.851409°
E  8.868713°		 ← 305.39 m →
93 255 m²		 S  0.851409°
E  8.871460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524639129638672 y=0.502361297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524639129638672 × 217)
    floor (0.524639129638672 × 131072)
    floor (68765.5)     		tx = 68765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502361297607422 × 217)
    floor (0.502361297607422 × 131072)
    floor (65845.5)     		ty = 65845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68765 / 65845 ti = "17/68765/65845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68765/65845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68765 ÷ 217
    68765 ÷ 131072     		x = 0.524635314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65845 ÷ 217
    65845 ÷ 131072     		y = 0.502357482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524635314941406 × 2 - 1) × π
    0.0492706298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15478825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502357482910156 × 2 - 1) × π
    -0.0047149658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0148125019825974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15478825} λ = 0.15478825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0148125019825974))-π/2
    2×atan(0.985296663455795)-π/2
    2×0.777992183225815-π/2
    1.55598436645163-1.57079632675     		φ = -0.01481196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15478825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.868713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01481196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.848663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68765 KachelY 65845 0.15478825 -0.01481196 8.868713 -0.848663
    Oben rechts KachelX + 1 68766 KachelY 65845 0.15483619 -0.01481196 8.871460 -0.848663
    Unten links KachelX 68765 KachelY + 1 65846 0.15478825 -0.01485989 8.868713 -0.851409
    Unten rechts KachelX + 1 68766 KachelY + 1 65846 0.15483619 -0.01485989 8.871460 -0.851409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01481196--0.01485989) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01481196--0.01485989) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15478825-0.15483619) × cos(-0.01481196) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999890304926039 × 6371000     		do = 305.392236301015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15478825-0.15483619) × cos(-0.01485989) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.99988959386624 × 6371000     		du = 305.392019125049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01481196)-sin(-0.01485989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999890304926039-0.99988959386624)×R²
    abs(0.15483619-0.15478825)×7.11059799818337e-07×R²
    4.79400000000241e-05×7.11059799818337e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.11059799818337e-07×40589641000000     		ar = 93255.1600823239m²