Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68747 / 65589
↖ ↑ ↗
← S  0.145569°
E  8.819275°		 ← 305.42 m → S  0.145569°
E  8.822021°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.148315°
E  8.819275°		 ← 305.42 m →
93 285 m²		 S  0.148315°
E  8.822021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524501800537109 y=0.500408172607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524501800537109 × 217)
    floor (0.524501800537109 × 131072)
    floor (68747.5)     		tx = 68747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500408172607422 × 217)
    floor (0.500408172607422 × 131072)
    floor (65589.5)     		ty = 65589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68747 / 65589 ti = "17/68747/65589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68747/65589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68747 ÷ 217
    68747 ÷ 131072     		x = 0.524497985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65589 ÷ 217
    65589 ÷ 131072     		y = 0.500404357910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524497985839844 × 2 - 1) × π
    0.0489959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15392538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500404357910156 × 2 - 1) × π
    -0.0008087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00254065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15392538} λ = 0.15392538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00254065567986298))-π/2
    2×atan(0.997462569054221)-π/2
    2×0.784127836924161-π/2
    1.56825567384832-1.57079632675     		φ = -0.00254065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15392538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.819275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00254065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.145569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68747 KachelY 65589 0.15392538 -0.00254065 8.819275 -0.145569
    Oben rechts KachelX + 1 68748 KachelY 65589 0.15397332 -0.00254065 8.822021 -0.145569
    Unten links KachelX 68747 KachelY + 1 65590 0.15392538 -0.00258859 8.819275 -0.148315
    Unten rechts KachelX + 1 68748 KachelY + 1 65590 0.15397332 -0.00258859 8.822021 -0.148315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00254065--0.00258859) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00254065--0.00258859) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15392538-0.15397332) × cos(-0.00254065) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999996772550525 × 6371000     		do = 305.424754253832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15392538-0.15397332) × cos(-0.00258859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999996649602777 × 6371000     		du = 305.424716702425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00254065)-sin(-0.00258859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999996772550525-0.999996649602777)×R²
    abs(0.15397332-0.15392538)×1.22947747982494e-07×R²
    4.79399999999963e-05×1.22947747982494e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.22947747982494e-07×40589641000000     		ar = 93284.5758655775m²