Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68727 / 65587
↖ ↑ ↗
← S  0.140076°
E  8.764343°		 ← 305.36 m → S  0.140076°
E  8.767090°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.142822°
E  8.764343°		 ← 305.36 m →
93 265 m²		 S  0.142822°
E  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524349212646484 y=0.500392913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524349212646484 × 217)
    floor (0.524349212646484 × 131072)
    floor (68727.5)     		tx = 68727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500392913818359 × 217)
    floor (0.500392913818359 × 131072)
    floor (65587.5)     		ty = 65587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68727 / 65587 ti = "17/68727/65587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68727/65587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68727 ÷ 217
    68727 ÷ 131072     		x = 0.524345397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65587 ÷ 217
    65587 ÷ 131072     		y = 0.500389099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524345397949219 × 2 - 1) × π
    0.0486907958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15296665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500389099121094 × 2 - 1) × π
    -0.0007781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00244478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15296665} λ = 0.15296665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00244478188062286))-π/2
    2×atan(0.997558204164694)-π/2
    2×0.784175773674832-π/2
    1.56835154734966-1.57079632675     		φ = -0.00244478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15296665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.764343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00244478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.140076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68727 KachelY 65587 0.15296665 -0.00244478 8.764343 -0.140076
    Oben rechts KachelX + 1 68728 KachelY 65587 0.15301458 -0.00244478 8.767090 -0.140076
    Unten links KachelX 68727 KachelY + 1 65588 0.15296665 -0.00249272 8.764343 -0.142822
    Unten rechts KachelX + 1 68728 KachelY + 1 65588 0.15301458 -0.00249272 8.767090 -0.142822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00244478--0.00249272) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00244478--0.00249272) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15296665-0.15301458) × cos(-0.00244478) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999997011526864 × 6371000     		do = 305.361117433787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15296665-0.15301458) × cos(-0.00249272) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99999689317511 × 6371000     		du = 305.361081293655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00244478)-sin(-0.00249272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999997011526864-0.99999689317511)×R²
    abs(0.15301458-0.15296665)×1.18351754729851e-07×R²
    4.79300000000016e-05×1.18351754729851e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.18351754729851e-07×40589641000000     		ar = 93265.139758239m²