Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68726 / 65581
↖ ↑ ↗
← S  0.123596°
E  8.761597°		 ← 305.43 m → S  0.123596°
E  8.764343°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.126343°
E  8.761597°		 ← 305.42 m →
93 285 m²		 S  0.126343°
E  8.764343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524341583251953 y=0.500347137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524341583251953 × 217)
    floor (0.524341583251953 × 131072)
    floor (68726.5)     		tx = 68726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500347137451172 × 217)
    floor (0.500347137451172 × 131072)
    floor (65581.5)     		ty = 65581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68726 / 65581 ti = "17/68726/65581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68726/65581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68726 ÷ 217
    68726 ÷ 131072     		x = 0.524337768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65581 ÷ 217
    65581 ÷ 131072     		y = 0.500343322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524337768554688 × 2 - 1) × π
    0.048675537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15291871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500343322753906 × 2 - 1) × π
    -0.0006866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00215716048290253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15291871} λ = 0.15291871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00215716048290253))-π/2
    2×atan(0.997845164515673)-π/2
    2×0.784319583992496-π/2
    1.56863916798499-1.57079632675     		φ = -0.00215716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15291871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.761597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00215716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.123596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68726 KachelY 65581 0.15291871 -0.00215716 8.761597 -0.123596
    Oben rechts KachelX + 1 68727 KachelY 65581 0.15296665 -0.00215716 8.764343 -0.123596
    Unten links KachelX 68726 KachelY + 1 65582 0.15291871 -0.00220510 8.761597 -0.126343
    Unten rechts KachelX + 1 68727 KachelY + 1 65582 0.15296665 -0.00220510 8.764343 -0.126343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00215716--0.00220510) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00215716--0.00220510) × R
    4.79400000000002e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15291871-0.15296665) × cos(-0.00215716) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999997673331269 × 6371000     		do = 305.425029375458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15291871-0.15296665) × cos(-0.00220510) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99999756876798 × 6371000     		du = 305.424997439138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00215716)-sin(-0.00220510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999997673331269-0.99999756876798)×R²
    abs(0.15296665-0.15291871)×1.04563289249349e-07×R²
    4.79399999999963e-05×1.04563289249349e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.04563289249349e-07×40589641000000     		ar = 93284.6607523004m²