Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68694 / 65770
↖ ↑ ↗
← S  0.642687°
E  8.673706°		 ← 305.41 m → S  0.642687°
E  8.676453°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.645433°
E  8.673706°		 ← 305.41 m →
93 260 m²		 S  0.645433°
E  8.676453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524097442626953 y=0.501789093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524097442626953 × 217)
    floor (0.524097442626953 × 131072)
    floor (68694.5)     		tx = 68694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501789093017578 × 217)
    floor (0.501789093017578 × 131072)
    floor (65770.5)     		ty = 65770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68694 / 65770 ti = "17/68694/65770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68694/65770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68694 ÷ 217
    68694 ÷ 131072     		x = 0.524093627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65770 ÷ 217
    65770 ÷ 131072     		y = 0.501785278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524093627929688 × 2 - 1) × π
    0.048187255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15138473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501785278320312 × 2 - 1) × π
    -0.003570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0112172345110931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15138473} λ = 0.15138473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0112172345110931))-π/2
    2×atan(0.988845444084867)-π/2
    2×0.779789663756842-π/2
    1.55957932751368-1.57079632675     		φ = -0.01121700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15138473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.673706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01121700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.642687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68694 KachelY 65770 0.15138473 -0.01121700 8.673706 -0.642687
    Oben rechts KachelX + 1 68695 KachelY 65770 0.15143267 -0.01121700 8.676453 -0.642687
    Unten links KachelX 68694 KachelY + 1 65771 0.15138473 -0.01126493 8.673706 -0.645433
    Unten rechts KachelX + 1 68695 KachelY + 1 65771 0.15143267 -0.01126493 8.676453 -0.645433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01121700--0.01126493) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01121700--0.01126493) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15138473-0.15143267) × cos(-0.01121700) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99993709011512 × 6371000     		do = 305.406525701834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15138473-0.15143267) × cos(-0.01126493) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999936551347014 × 6371000     		du = 305.406361148186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01121700)-sin(-0.01126493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99993709011512-0.999936551347014)×R²
    abs(0.15143267-0.15138473)×5.38768105795562e-07×R²
    4.79399999999963e-05×5.38768105795562e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.38768105795562e-07×40589641000000     		ar = 93259.5315571953m²