Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68646 / 64549
↖ ↑ ↗
← N  2.709866°
E  8.541870°		 ← 305.02 m → N  2.709866°
E  8.544616°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N  2.707122°
E  8.541870°		 ← 305.02 m →
93 064 m²		 N  2.707122°
E  8.544616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523731231689453 y=0.492473602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523731231689453 × 217)
    floor (0.523731231689453 × 131072)
    floor (68646.5)     		tx = 68646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492473602294922 × 217)
    floor (0.492473602294922 × 131072)
    floor (64549.5)     		ty = 64549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68646 / 64549 ti = "17/68646/64549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68646/64549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68646 ÷ 217
    68646 ÷ 131072     		x = 0.523727416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64549 ÷ 217
    64549 ÷ 131072     		y = 0.492469787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523727416992188 × 2 - 1) × π
    0.047454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14908376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492469787597656 × 2 - 1) × π
    0.0150604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0473137199249954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14908376} λ = 0.14908376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0473137199249954))-π/2
    2×atan(1.04845087742131)-π/2
    2×0.809046201968859-π/2
    1.61809240393772-1.57079632675     		φ = 0.04729608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14908376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.541870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04729608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.709866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68646 KachelY 64549 0.14908376 0.04729608 8.541870 2.709866
    Oben rechts KachelX + 1 68647 KachelY 64549 0.14913169 0.04729608 8.544616 2.709866
    Unten links KachelX 68646 KachelY + 1 64550 0.14908376 0.04724819 8.541870 2.707122
    Unten rechts KachelX + 1 68647 KachelY + 1 64550 0.14913169 0.04724819 8.544616 2.707122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04729608-0.04724819) × R
    4.78899999999949e-05 × 6371000     		dl = 305.107189999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04729608-0.04724819) × R
    4.78899999999949e-05 × 6371000     		dr = 305.107189999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14908376-0.14913169) × cos(0.04729608) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998881748884748 × 6371000     		do = 305.020558569407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14908376-0.14913169) × cos(0.04724819) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998884011904228 × 6371000     		du = 305.021249609629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04729608)-sin(0.04724819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998881748884748-0.998884011904228)×R²
    abs(0.14913169-0.14908376)×2.26301948058616e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.26301948058616e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.26301948058616e-06×40589641000000     		ar = 93064.0709557845m²