Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68642 / 64546
↖ ↑ ↗
← N  2.718096°
E  8.530884°		 ← 305.08 m → N  2.718096°
E  8.533631°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
N  2.715352°
E  8.530884°		 ← 305.08 m →
93 083 m²		 N  2.715352°
E  8.533631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523700714111328 y=0.492450714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523700714111328 × 217)
    floor (0.523700714111328 × 131072)
    floor (68642.5)     		tx = 68642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492450714111328 × 217)
    floor (0.492450714111328 × 131072)
    floor (64546.5)     		ty = 64546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68642 / 64546 ti = "17/68642/64546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68642/64546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68642 ÷ 217
    68642 ÷ 131072     		x = 0.523696899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64546 ÷ 217
    64546 ÷ 131072     		y = 0.492446899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523696899414062 × 2 - 1) × π
    0.047393798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14889201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492446899414062 × 2 - 1) × π
    0.015106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0474575306238556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14889201} λ = 0.14889201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0474575306238556))-π/2
    2×atan(1.04860166671701)-π/2
    2×0.809118026665641-π/2
    1.61823605333128-1.57079632675     		φ = 0.04743973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14889201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.530884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04743973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.718096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68642 KachelY 64546 0.14889201 0.04743973 8.530884 2.718096
    Oben rechts KachelX + 1 68643 KachelY 64546 0.14893995 0.04743973 8.533631 2.718096
    Unten links KachelX 68642 KachelY + 1 64547 0.14889201 0.04739184 8.530884 2.715352
    Unten rechts KachelX + 1 68643 KachelY + 1 64547 0.14893995 0.04739184 8.533631 2.715352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04743973-0.04739184) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04743973-0.04739184) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14889201-0.14893995) × cos(0.04743973) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998874947029441 × 6371000     		do = 305.082119863904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14889201-0.14893995) × cos(0.04739184) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998877216920612 × 6371000     		du = 305.082813147095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04743973)-sin(0.04739184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998874947029441-0.998877216920612)×R²
    abs(0.14893995-0.14889201)×2.26989117069198e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.26989117069198e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.26989117069198e-06×40589641000000     		ar = 93082.854091563m²