Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68640 / 64548
↖ ↑ ↗
← N  2.712609°
E  8.525391°		 ← 305.02 m → N  2.712609°
E  8.528137°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.709866°
E  8.525391°		 ← 305.02 m →
93 044 m²		 N  2.709866°
E  8.528137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523685455322266 y=0.492465972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523685455322266 × 217)
    floor (0.523685455322266 × 131072)
    floor (68640.5)     		tx = 68640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492465972900391 × 217)
    floor (0.492465972900391 × 131072)
    floor (64548.5)     		ty = 64548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68640 / 64548 ti = "17/68640/64548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68640/64548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68640 ÷ 217
    68640 ÷ 131072     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64548 ÷ 217
    64548 ÷ 131072     		y = 0.492462158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492462158203125 × 2 - 1) × π
    0.01507568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0473616568246155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0473616568246155))-π/2
    2×atan(1.04850113811044)-π/2
    2×0.809070143588787-π/2
    1.61814028717757-1.57079632675     		φ = 0.04734396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04734396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.712609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68640 KachelY 64548 0.14879614 0.04734396 8.525391 2.712609
    Oben rechts KachelX + 1 68641 KachelY 64548 0.14884407 0.04734396 8.528137 2.712609
    Unten links KachelX 68640 KachelY + 1 64549 0.14879614 0.04729608 8.525391 2.709866
    Unten rechts KachelX + 1 68641 KachelY + 1 64549 0.14884407 0.04729608 8.528137 2.709866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04734396-0.04729608) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04734396-0.04729608) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14884407) × cos(0.04734396) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998879484047643 × 6371000     		do = 305.019866974151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14884407) × cos(0.04729608) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998881748884748 × 6371000     		du = 305.020558569407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04734396)-sin(0.04729608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998879484047643-0.998881748884748)×R²
    abs(0.14884407-0.14879614)×2.26483710519254e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.26483710519254e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.26483710519254e-06×40589641000000     		ar = 93044.427192022m²