Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6864 / 7760
↖ ↑ ↗
← S 83.111071°
E121.640625°		 ← 586.11 m → S 83.111071°
E121.684570°		 →
↑
585.94 m
↓
↑
585.94 m
↓
S 83.116340°
E121.640625°		 ← 585.66 m →
343 295 m²		 S 83.116340°
E121.684570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83795166015625 y=0.94732666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83795166015625 × 213)
    floor (0.83795166015625 × 8192)
    floor (6864.5)     		tx = 6864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94732666015625 × 213)
    floor (0.94732666015625 × 8192)
    floor (7760.5)     		ty = 7760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6864 / 7760 ti = "13/6864/7760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6864/7760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6864 ÷ 213
    6864 ÷ 8192     		x = 0.837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7760 ÷ 213
    7760 ÷ 8192     		y = 0.947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837890625 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.947265625 × 2 - 1) × π
    -0.89453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.81025280332617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12302941} λ = 2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.81025280332617))-π/2
    2×atan(0.0601897742937186)-π/2
    2×0.0601172465305099-π/2
    0.12023449306102-1.57079632675     		φ = -1.45056183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45056183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.111071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6864 KachelY 7760 2.12302941 -1.45056183 121.640625 -83.111071
    Oben rechts KachelX + 1 6865 KachelY 7760 2.12379640 -1.45056183 121.684570 -83.111071
    Unten links KachelX 6864 KachelY + 1 7761 2.12302941 -1.45065380 121.640625 -83.116340
    Unten rechts KachelX + 1 6865 KachelY + 1 7761 2.12379640 -1.45065380 121.684570 -83.116340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45056183--1.45065380) × R
    9.19699999999413e-05 × 6371000     		dl = 585.940869999626m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45056183--1.45065380) × R
    9.19699999999413e-05 × 6371000     		dr = 585.940869999626m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12302941-2.12379640) × cos(-1.45056183) × R
    0.000766989999999801 × 0.119945014438427 × 6371000     		do = 586.110508222174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12302941-2.12379640) × cos(-1.45065380) × R
    0.000766989999999801 × 0.119853707905344 × 6371000     		du = 585.664339460932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45056183)-sin(-1.45065380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.119945014438427-0.119853707905344)×R²
    abs(2.12379640-2.12302941)×9.13065330828688e-05×R²
    0.000766989999999801×9.13065330828688e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.13065330828688e-05×40589641000000     		ar = 343295.387092125m²