Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68623 / 44043
↖ ↑ ↗
← N 50.717330°
E  8.478699°		 ← 193.38 m → N 50.717330°
E  8.481446°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
N 50.715591°
E  8.478699°		 ← 193.39 m →
37 392 m²		 N 50.715591°
E  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523555755615234 y=0.336025238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523555755615234 × 217)
    floor (0.523555755615234 × 131072)
    floor (68623.5)     		tx = 68623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336025238037109 × 217)
    floor (0.336025238037109 × 131072)
    floor (44043.5)     		ty = 44043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68623 / 44043 ti = "17/68623/44043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68623/44043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68623 ÷ 217
    68623 ÷ 131072     		x = 0.523551940917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44043 ÷ 217
    44043 ÷ 131072     		y = 0.336021423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523551940917969 × 2 - 1) × π
    0.0471038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14798121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336021423339844 × 2 - 1) × π
    0.327957153320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.03030778353387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14798121} λ = 0.14798121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03030778353387))-π/2
    2×atan(2.80192808932736)-π/2
    2×1.22799036290336-π/2
    2.45598072580671-1.57079632675     		φ = 0.88518440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14798121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.478699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88518440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.717330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68623 KachelY 44043 0.14798121 0.88518440 8.478699 50.717330
    Oben rechts KachelX + 1 68624 KachelY 44043 0.14802915 0.88518440 8.481446 50.717330
    Unten links KachelX 68623 KachelY + 1 44044 0.14798121 0.88515405 8.478699 50.715591
    Unten rechts KachelX + 1 68624 KachelY + 1 44044 0.14802915 0.88515405 8.481446 50.715591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88518440-0.88515405) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dl = 193.359849999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88518440-0.88515405) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dr = 193.359849999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14798121-0.14802915) × cos(0.88518440) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633146780798612 × 6371000     		do = 193.379324054019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14798121-0.14802915) × cos(0.88515405) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633170272370695 × 6371000     		du = 193.386498984806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88518440)-sin(0.88515405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633146780798612-0.633170272370695)×R²
    abs(0.14802915-0.14798121)×2.34915720834783e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34915720834783e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34915720834783e-05×40589641000000     		ar = 37392.4907668386m²