Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68622 / 44046
↖ ↑ ↗
← N 50.712113°
E  8.475952°		 ← 193.40 m → N 50.712113°
E  8.478699°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
N 50.710374°
E  8.475952°		 ← 193.41 m →
37 397 m²		 N 50.710374°
E  8.478699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523548126220703 y=0.336048126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523548126220703 × 217)
    floor (0.523548126220703 × 131072)
    floor (68622.5)     		tx = 68622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336048126220703 × 217)
    floor (0.336048126220703 × 131072)
    floor (44046.5)     		ty = 44046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68622 / 44046 ti = "17/68622/44046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68622/44046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68622 ÷ 217
    68622 ÷ 131072     		x = 0.523544311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44046 ÷ 217
    44046 ÷ 131072     		y = 0.336044311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523544311523438 × 2 - 1) × π
    0.047088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14793327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336044311523438 × 2 - 1) × π
    0.327911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03016397283501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14793327} λ = 0.14793327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03016397283501))-π/2
    2×atan(2.80152517106335)-π/2
    2×1.22794483372888-π/2
    2.45588966745776-1.57079632675     		φ = 0.88509334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14793327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88509334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.712113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68622 KachelY 44046 0.14793327 0.88509334 8.475952 50.712113
    Oben rechts KachelX + 1 68623 KachelY 44046 0.14798121 0.88509334 8.478699 50.712113
    Unten links KachelX 68622 KachelY + 1 44047 0.14793327 0.88506299 8.475952 50.710374
    Unten rechts KachelX + 1 68623 KachelY + 1 44047 0.14798121 0.88506299 8.478699 50.710374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88509334-0.88506299) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dl = 193.359849999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88509334-0.88506299) × R
    3.03499999999568e-05 × 6371000     		dr = 193.359849999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14793327-0.14798121) × cos(0.88509334) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.6332172615049 × 6371000     		do = 193.400850675893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14793327-0.14798121) × cos(0.88506299) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.633240751327044 × 6371000     		du = 193.408025072204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88509334)-sin(0.88506299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6332172615049-0.633240751327044)×R²
    abs(0.14798121-0.14793327)×2.34898221442847e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34898221442847e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34898221442847e-05×40589641000000     		ar = 37396.6530994159m²