Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68621 / 65751
↖ ↑ ↗
← S  0.590505°
E  8.473206°		 ← 305.35 m → S  0.590505°
E  8.475952°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.593251°
E  8.473206°		 ← 305.35 m →
93 260 m²		 S  0.593251°
E  8.475952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523540496826172 y=0.501644134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523540496826172 × 217)
    floor (0.523540496826172 × 131072)
    floor (68621.5)     		tx = 68621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501644134521484 × 217)
    floor (0.501644134521484 × 131072)
    floor (65751.5)     		ty = 65751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68621 / 65751 ti = "17/68621/65751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68621/65751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68621 ÷ 217
    68621 ÷ 131072     		x = 0.523536682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65751 ÷ 217
    65751 ÷ 131072     		y = 0.501640319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523536682128906 × 2 - 1) × π
    0.0470733642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14788534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501640319824219 × 2 - 1) × π
    -0.0032806396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0103064334183121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14788534} λ = 0.14788534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0103064334183121))-π/2
    2×atan(0.989746495873118)-π/2
    2×0.78024503791719-π/2
    1.56049007583438-1.57079632675     		φ = -0.01030625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14788534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.473206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01030625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.590505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68621 KachelY 65751 0.14788534 -0.01030625 8.473206 -0.590505
    Oben rechts KachelX + 1 68622 KachelY 65751 0.14793327 -0.01030625 8.475952 -0.590505
    Unten links KachelX 68621 KachelY + 1 65752 0.14788534 -0.01035419 8.473206 -0.593251
    Unten rechts KachelX + 1 68622 KachelY + 1 65752 0.14793327 -0.01035419 8.475952 -0.593251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01030625--0.01035419) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01030625--0.01035419) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14788534-0.14793327) × cos(-0.01030625) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999946891075568 × 6371000     		do = 305.345812551034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14788534-0.14793327) × cos(-0.01035419) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99994639585363 × 6371000     		du = 305.345661329058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01030625)-sin(-0.01035419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999946891075568-0.99994639585363)×R²
    abs(0.14793327-0.14788534)×4.95221938789925e-07×R²
    4.79300000000016e-05×4.95221938789925e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.95221938789925e-07×40589641000000     		ar = 93260.4476786212m²