Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6862 / 11473
↖ ↑ ↗
← S 58.274843°
W 29.223633°		 ← 1 284.75 m → S 58.274843°
W 29.201660°		 →
↑
1 284.58 m
↓
↑
1 284.58 m
↓
S 58.286395°
W 29.223633°		 ← 1 284.33 m →
1 650 105 m²		 S 58.286395°
W 29.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418853759765625 y=0.700286865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418853759765625 × 214)
    floor (0.418853759765625 × 16384)
    floor (6862.5)     		tx = 6862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700286865234375 × 214)
    floor (0.700286865234375 × 16384)
    floor (11473.5)     		ty = 11473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6862 / 11473 ti = "14/6862/11473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6862/11473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6862 ÷ 214
    6862 ÷ 16384     		x = 0.4188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11473 ÷ 214
    11473 ÷ 16384     		y = 0.70025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.70025634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.25824774122723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51004861} λ = -0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25824774122723))-π/2
    2×atan(0.284151497477791)-π/2
    2×0.276854221362863-π/2
    0.553708442725725-1.57079632675     		φ = -1.01708788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01708788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.274843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6862 KachelY 11473 -0.51004861 -1.01708788 -29.223633 -58.274843
    Oben rechts KachelX + 1 6863 KachelY 11473 -0.50966512 -1.01708788 -29.201660 -58.274843
    Unten links KachelX 6862 KachelY + 1 11474 -0.51004861 -1.01728951 -29.223633 -58.286395
    Unten rechts KachelX + 1 6863 KachelY + 1 11474 -0.50966512 -1.01728951 -29.201660 -58.286395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01708788--1.01728951) × R
    0.000201629999999842 × 6371000     		dl = 1284.58472999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01708788--1.01728951) × R
    0.000201629999999842 × 6371000     		dr = 1284.58472999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51004861--0.50966512) × cos(-1.01708788) × R
    0.000383490000000042 × 0.525845169371281 × 6371000     		do = 1284.75269505811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51004861--0.50966512) × cos(-1.01728951) × R
    0.000383490000000042 × 0.525673656176211 × 6371000     		du = 1284.33365148323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01708788)-sin(-1.01728951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525845169371281-0.525673656176211)×R²
    abs(-0.50966512--0.51004861)×0.000171513195070028×R²
    0.000383490000000042×0.000171513195070028×6371000²
    0.000383490000000042×0.000171513195070028×40589641000000     		ar = 1650104.55099818m²