Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68616 / 65773
↖ ↑ ↗
← S  0.650926°
E  8.459473°		 ← 305.41 m → S  0.650926°
E  8.462219°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.653672°
E  8.459473°		 ← 305.41 m →
93 259 m²		 S  0.653672°
E  8.462219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523502349853516 y=0.501811981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523502349853516 × 217)
    floor (0.523502349853516 × 131072)
    floor (68616.5)     		tx = 68616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501811981201172 × 217)
    floor (0.501811981201172 × 131072)
    floor (65773.5)     		ty = 65773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68616 / 65773 ti = "17/68616/65773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68616/65773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68616 ÷ 217
    68616 ÷ 131072     		x = 0.52349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65773 ÷ 217
    65773 ÷ 131072     		y = 0.501808166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52349853515625 × 2 - 1) × π
    0.0469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14764565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501808166503906 × 2 - 1) × π
    -0.0036163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0113610452099533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14764565} λ = 0.14764565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0113610452099533))-π/2
    2×atan(0.98870324775541)-π/2
    2×0.779717762989207-π/2
    1.55943552597841-1.57079632675     		φ = -0.01136080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14764565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01136080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.650926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68616 KachelY 65773 0.14764565 -0.01136080 8.459473 -0.650926
    Oben rechts KachelX + 1 68617 KachelY 65773 0.14769359 -0.01136080 8.462219 -0.650926
    Unten links KachelX 68616 KachelY + 1 65774 0.14764565 -0.01140873 8.459473 -0.653672
    Unten rechts KachelX + 1 68617 KachelY + 1 65774 0.14769359 -0.01140873 8.462219 -0.653672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01136080--0.01140873) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01136080--0.01140873) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14764565-0.14769359) × cos(-0.01136080) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999935466805781 × 6371000     		do = 305.406029901554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14764565-0.14769359) × cos(-0.01140873) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999934921145782 × 6371000     		du = 305.405863242945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01136080)-sin(-0.01140873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999935466805781-0.999934921145782)×R²
    abs(0.14769359-0.14764565)×5.45659998851811e-07×R²
    4.79400000000241e-05×5.45659998851811e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.45659998851811e-07×40589641000000     		ar = 93259.3798372258m²