Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68611 / 66567
↖ ↑ ↗
← S  2.830574°
E  8.445740°		 ← 304.99 m → S  2.830574°
E  8.448486°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  2.833317°
E  8.445740°		 ← 304.99 m →
93 016 m²		 S  2.833317°
E  8.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523464202880859 y=0.507869720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523464202880859 × 217)
    floor (0.523464202880859 × 131072)
    floor (68611.5)     		tx = 68611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507869720458984 × 217)
    floor (0.507869720458984 × 131072)
    floor (66567.5)     		ty = 66567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68611 / 66567 ti = "17/68611/66567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68611/66567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68611 ÷ 217
    68611 ÷ 131072     		x = 0.523460388183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66567 ÷ 217
    66567 ÷ 131072     		y = 0.507865905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523460388183594 × 2 - 1) × π
    0.0469207763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14740597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507865905761719 × 2 - 1) × π
    -0.0157318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0494229435082779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14740597} λ = 0.14740597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0494229435082779))-π/2
    2×atan(0.951778496022646)-π/2
    2×0.760696745657138-π/2
    1.52139349131428-1.57079632675     		φ = -0.04940284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14740597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.445740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04940284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.830574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68611 KachelY 66567 0.14740597 -0.04940284 8.445740 -2.830574
    Oben rechts KachelX + 1 68612 KachelY 66567 0.14745390 -0.04940284 8.448486 -2.830574
    Unten links KachelX 68611 KachelY + 1 66568 0.14740597 -0.04945071 8.445740 -2.833317
    Unten rechts KachelX + 1 68612 KachelY + 1 66568 0.14745390 -0.04945071 8.448486 -2.833317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04940284--0.04945071) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04940284--0.04945071) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14740597-0.14745390) × cos(-0.04940284) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998779927876715 × 6371000     		do = 304.989466299697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14740597-0.14745390) × cos(-0.04945071) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998777562780262 × 6371000     		du = 304.988744089043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04940284)-sin(-0.04945071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998779927876715-0.998777562780262)×R²
    abs(0.14745390-0.14740597)×2.36509645368255e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.36509645368255e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36509645368255e-06×40589641000000     		ar = 93015.5071724505m²