Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68610 / 65767
↖ ↑ ↗
← S  0.634448°
E  8.442993°		 ← 305.41 m → S  0.634448°
E  8.445740°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.637194°
E  8.442993°		 ← 305.41 m →
93 260 m²		 S  0.637194°
E  8.445740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523456573486328 y=0.501766204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523456573486328 × 217)
    floor (0.523456573486328 × 131072)
    floor (68610.5)     		tx = 68610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501766204833984 × 217)
    floor (0.501766204833984 × 131072)
    floor (65767.5)     		ty = 65767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68610 / 65767 ti = "17/68610/65767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68610/65767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68610 ÷ 217
    68610 ÷ 131072     		x = 0.523452758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65767 ÷ 217
    65767 ÷ 131072     		y = 0.501762390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523452758789062 × 2 - 1) × π
    0.046905517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14735803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501762390136719 × 2 - 1) × π
    -0.0035247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.011073423812233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14735803} λ = 0.14735803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.011073423812233))-π/2
    2×atan(0.988987660865147)-π/2
    2×0.779861564640459-π/2
    1.55972312928092-1.57079632675     		φ = -0.01107320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14735803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.442993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01107320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.634448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68610 KachelY 65767 0.14735803 -0.01107320 8.442993 -0.634448
    Oben rechts KachelX + 1 68611 KachelY 65767 0.14740597 -0.01107320 8.445740 -0.634448
    Unten links KachelX 68610 KachelY + 1 65768 0.14735803 -0.01112113 8.442993 -0.637194
    Unten rechts KachelX + 1 68611 KachelY + 1 65768 0.14740597 -0.01112113 8.445740 -0.637194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01107320--0.01112113) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01107320--0.01112113) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14735803-0.14740597) × cos(-0.01107320) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99993869274732 × 6371000     		do = 305.407015186959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14735803-0.14740597) × cos(-0.01112113) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999938160871118 × 6371000     		du = 305.406852738277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01107320)-sin(-0.01112113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99993869274732-0.999938160871118)×R²
    abs(0.14740597-0.14735803)×5.31876201748105e-07×R²
    4.79399999999963e-05×5.31876201748105e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×5.31876201748105e-07×40589641000000     		ar = 93259.6813487548m²